Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores e v3=(2,1,0).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço tridimensional (x1, y1, z1) cdot (x2, y2, z2) = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2 com um produto interno específico definido por:
u = (1, 1, 2), v2 = (1, -1, 2), v3 = (2, 1, 0)
O objetivo é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente aos vetores:
Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser unitário e ser ortogonal em relação a esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou norma) igual a 1. A norma de um vetor | a | = raiz2a1^2 + a2^2 + 4a3^2 nesse produto interno é dada por:
2a1^2 + a2^2 + 4a3^2 = 1 (Equação 1)
Queremos que essa norma seja igual a 1:
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Passo 3
Agora, vamos garantir que nosso vetor 2a1 + a2 + 8a3 = 0 (Equação 2) seja ortogonal aos três vetores dados em relação ao produto interno fornecido. Isso significa que o produto interno de 2a1 - a2 + 8a3 = 0 (Equação 3) com cada um desses vetores deve ser zero:
4a1 + a2 = 0 (Equação 4)
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Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, vamos analisar as Equações 2 e 3: