Consideremos, no R^3, o seguinte produto interno:
(x1, y1, z1) cdot(x2, y2, z2)=2 x1 x2+y1 y2+4 z1 z2
Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u=(1,1,2), v2=(1,-1,2) e v3=(2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço tridimensional (x1, y1, z1) cdot (x2, y2, z2) = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2 com um produto interno específico definido por:
u = (1, 1, 2), v2 = (1, -1, 2), v3 = (2, 1, 0)
O objetivo é encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente aos vetores:
Para isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser unitário e ser ortogonal em relação a esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou norma) igual a 1. A norma de um vetor | a | = raiz2a1^2 + a2^2 + 4a3^2 nesse produto interno é dada por:
2a1^2 + a2^2 + 4a3^2 = 1 (Equação 1)
Queremos que essa norma seja igual a 1:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que nosso vetor 2a1 + a2 + 8a3 = 0 (Equação 2) seja ortogonal aos três vetores dados em relação ao produto interno fornecido. Isso significa que o produto interno de 2a1 - a2 + 8a3 = 0 (Equação 3) com cada um desses vetores deve ser zero:
  1. 4a1 + a2 = 0 (Equação 4)
    çã
  2. çã
  3. çã

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, vamos analisar as Equações 2 e 3:
2a1 + a2 + 8a3 = 0 (Equação 2) 2a1 - a2 + 8a3 = 0 (Equação 3) çãçã
Somando as duas equações, temos:
(2a1 + a2 + 8a3) + (2a1 - a2 + 8a3) = 0 + 0 4a1 + 16a3 = 0 Rightarrow a1 = -4a3 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora, vamos usar a Equação 4:
4a1 + a2 = 0
Substituindo 4(-4a3) + a2 = 0 -16a3 + a2 = 0 Rightarrow a2 = 16a3 (Equação 6) da Equação 5:
çã

Passo 6

Agora temos 2a1^2 + a2^2 + 4a3^2 = 1 e 2(-4a3)^2 + (16a3)^2 + 4a3^2 = 1 2(16a3^2) + 256a3^2 + 4a3^2 = 1 32a3^2 + 256a3^2 + 4a3^2 = 1 292a3^2 = 1 a3^2 = 1292 a3 = pm 1raiz292 = pm 12raiz73 em termos de . Vamos substituir essas expressões na Equação 1 para encontrar :
Substituindo de Equações 5 e 6:

Passo 7

Agora que temos a1 = -4a3 = -42raiz73 = -2raiz73 a2 = 16a3 = 162raiz73 = 8raiz73 , podemos encontrar a1 = -4a3 = 42raiz73 = 2raiz73 a2 = 16a3 = -162raiz73 = -8raiz73 e usando as Equações 5 e 6:
Para :
Para :

Passo 8

Portanto, temos dois vetores que satisfazem todas as condições:
a1 = ( -2raiz73, 8raiz73, 12raiz73 ) a2 = ( 2raiz73, -8raiz73, -12raiz73 )
Ambos são vetores unitários e são ortogonais aos três vetores em relação ao produto interno dado.

Resposta

Um dos vetores unitários que satisfaz as condições é:
boxed( -dfrac2raiz73, dfrac8raiz73, dfrac12raiz73 )
O outro vetor unitário também válido é:
boxed( dfrac2raiz73, -dfrac8raiz73, -dfrac12raiz73 )

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