Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
tal que

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores correspondentes a essa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e resolução de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor em .
No nosso caso, , então a matriz é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de :
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema para cada .
Primeiro, para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:

Passo 6

Agora, para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da transformação são e , com seus respectivos autovetores:

Exercícios relacionados

Verifique em detalhes que é um espaço vetorial.
O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais com as operações
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(e) Resp: Não é invertível.