Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
tal que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores correspondentes a essa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e resolução de equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear
de
para
pode ser representada por uma matriz
tal que
, onde
é um vetor em
.
No nosso caso,
, então a matriz
é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Calculando
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de
:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema
para cada
.
Primeiro, para
:
Resolvendo
:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:
Passo 6
Agora, para
:
Resolvendo
:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
, com seus respectivos autovetores:
Exercícios relacionados
Verifique em detalhes que
é um espaço vetorial.
O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais
com as operações
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(e) Resp: Não é invertível.
(e)