Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)-(2 y, x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores correspondentes a essa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e resolução de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Sabemos que uma transformação linear A = 0 & 2 1 & 0 de para pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor em .
No nosso caso, , então a matriz é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
A - lambda I = 0 - lambda & 2 1 & 0 - lambda = -lambda & 2 1 & -lambda
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2 :
lambda^2 - 2 = 0 lambda^2 = 2 lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema A - raiz2 I = -raiz2 & 2 1 & -raiz2 para cada -raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 - raiz2 v2 = 0 .
Primeiro, para v1 = raiz2 v2 :
v = raiz2 1
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:

Passo 6

Agora, para A + raiz2 I = raiz2 & 2 1 & raiz2 :
raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 + raiz2 v2 = 0
Resolvendo v1 = -raiz2 v2 :
Isso nos dá as equações:
v = -raiz2 1
Da segunda equação:
Então, um autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da transformação v1 = raiz2 1 , v2 = -raiz2 1 são e , com seus respectivos autovetores:

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