Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa calcular o polinômio característico e os valores próprios (também conhecidos como autovalores) da matriz resultante do produto de quatro matrizes 2x2. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como encontrar o polinômio característico usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
A multiplicação de matrizes segue a regra das linhas por colunas. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante :
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o resultado pela terceira matriz :
Calculando :
Passo 4
Por fim, vamos multiplicar o resultado por :
Calculando :
Passo 5
Agora que temos a matriz final , vamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:
Passo 6
Para encontrar os valores próprios, ou autovalores, resolvemos a equação :