Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
(ll 2 & 0 1 & 1 ) cdot(rr -1 & -1 -3 & 1 ) cdot(ll 2 & 1 0 & 1 ) cdot(rr -1 & -3 -1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa calcular o polinômio característico e os valores próprios (também conhecidos como autovalores) da matriz resultante do produto de quatro matrizes 2x2. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como encontrar o polinômio característico usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
A = 2 & 0 1 & 1 , B = -1 & -1 -3 & 1
A multiplicação de matrizes segue a regra das linhas por colunas. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante AB = (2 times -1) + (0 times -3) & (2 times -1) + (0 times 1) (1 times -1) + (1 times -3) & (1 times -1) + (1 times 1) = -2 + 0 & -2 + 0 -1 -3 & -1 +1 = -2 & -2 -4 & 0 :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o resultado C = 2 & 1 0 & 1 pela terceira matriz (AB)C = -2 & -2 -4 & 0 2 & 1 0 & 1 = (-2 times 2) + (-2 times 0) & (-2 times 1) + (-2 times 1) (-4 times 2) + (0 times 0) & (-4 times 1) + (0 times 1) = -4 + 0 & -2 -2 -8 + 0 & -4 +0 = -4 & -4 -8 & -4 :
Calculando :

Passo 4

Por fim, vamos multiplicar o resultado por D = -1 & -3 -1 & 1 :
((AB)C)D = -4 & -4 -8 & -4 -1 & -3 -1 & 1 = (-4 times -1) + (-4 times -1) & (-4 times -3) + (-4 times 1) (-8 times -1) + (-4 times -1) & (-8 times -3) + (-4 times 1) = 4 + 4 & 12 -4 8 +4 & 24 -4 = 8 & 8 12 & 20
Calculando :

Passo 5

Agora que temos a matriz final 8 & 8 12 & 20 , vamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz p(lambda) = det(M - lambda I) é dado por:
M - lambda I = 8 - lambda & 8 12 & 20 - lambda
Onde det(M - lambda I) = (8 - lambda)(20 - lambda) - (8 times 12) = (160 - 28lambda + lambda^2) - 96 = lambda^2 -28lambda +64 é a matriz identidade e p(lambda) = lambda^2 -28lambda +64 é um escalar.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:

Passo 6

Para encontrar os valores próprios, ou autovalores, resolvemos a equação lambda^2 -28lambda +64 = 0 :
lambda = 28 pm raiz(-28)^2 - 4 times 1 times 642 = 28 pm raiz784 - 2562 = 28 pm raiz5282
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
raiz528 = raiz16 times 33 = 4raiz33
Simplificando a raiz:
lambda = 28 pm 4raiz332 = 14 pm 2raiz33
Então:

Resposta

Os valores próprios da matriz são e .

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