Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa calcular o polinômio característico e os valores próprios (também conhecidos como autovalores) da matriz resultante do produto de quatro matrizes 2x2. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como encontrar o polinômio característico usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
A multiplicação de matrizes segue a regra das linhas por colunas. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o resultado
pela terceira matriz
:
Calculando
:
Passo 4
Por fim, vamos multiplicar o resultado por
:
Calculando
:
Passo 5
Agora que temos a matriz final
, vamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz
é dado por:
Onde
é a matriz identidade e
é um escalar.
Calculando
:
O determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:
Passo 6
Para encontrar os valores próprios, ou autovalores, resolvemos a equação
:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Então:
Resposta
Os valores próprios da matriz são
e
.