Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa calcular o polinômio característico e os valores próprios (também conhecidos como autovalores) da matriz resultante do produto de quatro matrizes 2x2. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como encontrar o polinômio característico usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
A multiplicação de matrizes segue a regra das linhas por colunas. Vamos calcular cada elemento da matriz resultante :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o resultado pela terceira matriz :
Calculando :

Passo 4

Por fim, vamos multiplicar o resultado por :
Calculando :

Passo 5

Agora que temos a matriz final , vamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:

Passo 6

Para encontrar os valores próprios, ou autovalores, resolvemos a equação :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Então:

Resposta

Os valores próprios da matriz são e .

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Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
tal que
Verifique em detalhes que é um espaço vetorial.
Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(e) Resp: Não é invertível.
Encontre a matriz da transformação linear definida por em relação à base canônica de . Determine o núcleo e a imagem de .