Verifique em detalhes que é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que é um espaço vetorial. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, a definição de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos checar se satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (aqui, os números reais ) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e que essas operações seguem certas regras, conhecidas como axiomas.

Passo 3

Vamos listar os axiomas que precisamos verificar para confirmar que é um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores em também está em .
  2. Comutatividade da adição: A + B = B + A para quaisquer vetores A e B.
  3. Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer vetores A, B e C.
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que A + 0 = A para qualquer vetor A.
  5. Elemento inverso da adição: Para cada vetor A, existe um vetor -A tal que A + (-A) = 0.
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor que está em .
  7. Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) = cA + cB.
  8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = cA + dA.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A = c(dA).
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para .
1. Fechamento na adição: Se A = e B = , então A + B = . Claramente, isso ainda está em .
2. Comutatividade da adição: A + B = e B + A = . Como a adição de números reais é comutativa, A + B = B + A.
3. Associatividade da adição: (A + B) + C = e A + (B + C) = . Novamente, pela associatividade dos reais, os dois são iguais.
4. Elemento neutro da adição: O vetor zero é . Para qualquer vetor A = , A + 0 = .
5. Elemento inverso da adição: Para cada A = , o inverso é -A = . Então, A + (-A) = .
6. Fechamento na multiplicação por escalar: Se c é um escalar em e A = , então cA = , que está em .
7. Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) = = = cA + cB.
8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = = cA + dA.
9. Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A = e c(dA) = . São iguais.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = .

Resposta

Como todos os dez axiomas de espaço vetorial são satisfeitos por , podemos concluir que é realmente um espaço vetorial.

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