Verifique em detalhes que
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que
é um espaço vetorial. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, a definição de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos checar se
satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (aqui, os números reais
) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e que essas operações seguem certas regras, conhecidas como axiomas.
Passo 3
Vamos listar os axiomas que precisamos verificar para confirmar que
é um espaço vetorial:
- Fechamento na adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Comutatividade da adição: A + B = B + A para quaisquer vetores A e B.
- Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer vetores A, B e C.
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que A + 0 = A para qualquer vetor A.
- Elemento inverso da adição: Para cada vetor A, existe um vetor -A tal que A + (-A) = 0.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor que está em
. - Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) = cA + cB.
- Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = cA + dA.
- Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A = c(dA).
- Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.
Passo 4
Vamos verificar cada um desses axiomas para
.
1. Fechamento na adição: Se A =
e B =
, então A + B =
. Claramente, isso ainda está em
.
2. Comutatividade da adição: A + B =
e B + A =
. Como a adição de números reais é comutativa, A + B = B + A.
3. Associatividade da adição: (A + B) + C =
e A + (B + C) =
. Novamente, pela associatividade dos reais, os dois são iguais.
4. Elemento neutro da adição: O vetor zero é
. Para qualquer vetor A =
, A + 0 =
.
5. Elemento inverso da adição: Para cada A =
, o inverso é -A =
. Então, A + (-A) =
.
6. Fechamento na multiplicação por escalar: Se c é um escalar em
e A =
, então cA =
, que está em
.
7. Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) =
=
= cA + cB.
8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A =
= cA + dA.
9. Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A =
e c(dA) =
. São iguais.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A =
.
Resposta
Como todos os dez axiomas de espaço vetorial são satisfeitos por
, podemos concluir que
é realmente um espaço vetorial.
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