Verifique em detalhes que R^3 é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que R^3 é um espaço vetorial. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, a definição de espaço vetorial. Para resolver isso, precisamos checar se R^3 satisfaz todas as propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (aqui, os números reais R) é um conjunto onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, e que essas operações seguem certas regras, conhecidas como axiomas.

Passo 3

Vamos listar os axiomas que precisamos verificar para confirmar que R^3 é um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores em R^3 também está em R^3.
  2. Comutatividade da adição: A + B = B + A para quaisquer vetores A e B.
  3. Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C) para quaisquer vetores A, B e C.
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que A + 0 = A para qualquer vetor A.
  5. Elemento inverso da adição: Para cada vetor A, existe um vetor -A tal que A + (-A) = 0.
  6. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor que está em R^3.
  7. Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) = cA + cB.
  8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = cA + dA.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A = c(dA).
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para R^3.
1. Fechamento na adição: Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), então A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3). Claramente, isso ainda está em R^3.
2. Comutatividade da adição: A + B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) e B + A = (b1 + a1, b2 + a2, b3 + a3). Como a adição de números reais é comutativa, A + B = B + A.
3. Associatividade da adição: (A + B) + C = ((a1 + b1) + c1, (a2 + b2) + c2, (a3 + b3) + c3) e A + (B + C) = (a1 + (b1 + c1), a2 + (b2 + c2), a3 + (b3 + c3)). Novamente, pela associatividade dos reais, os dois são iguais.
4. Elemento neutro da adição: O vetor zero é (0, 0, 0). Para qualquer vetor A = (a1, a2, a3), A + 0 = (a1 + 0, a2 + 0, a3 + 0) = A.
5. Elemento inverso da adição: Para cada A = (a1, a2, a3), o inverso é -A = (-a1, -a2, -a3). Então, A + (-A) = (a1 - a1, a2 - a2, a3 - a3) = (0, 0, 0).
6. Fechamento na multiplicação por escalar: Se c é um escalar em R e A = (a1, a2, a3), então cA = (c a1, c a2, c a3), que está em R^3.
7. Distributividade do escalar sobre a adição de vetores: c(A + B) = c(a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (c(a1 + b1), c(a2 + b2), c(a3 + b3)) = (c a1 + c b1, c a2 + c b2, c a3 + c b3) = cA + cB.
8. Distributividade do escalar sobre a soma de escalares: (c + d)A = ((c + d)a1, (c + d)a2, (c + d)a3) = (c a1 + d a1, c a2 + d a2, c a3 + d a3) = cA + dA.
9. Associatividade da multiplicação por escalar: (cd)A = (cd a1, cd a2, cd a3) e c(dA) = c(d a1, d a2, d a3) = (c d a1, c d a2, c d a3). São iguais.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = (1 cdot a1, 1 cdot a2, 1 cdot a3) = (a1, a2, a3) = A.

Resposta

Como todos os dez axiomas de espaço vetorial são satisfeitos por R^3, podemos concluir que R^3 é realmente um espaço vetorial.

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