O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais com as operações

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo! A gente tem todas as ternas ordenadas de números reais, ou seja, conjuntos como onde , e são números reais. Além disso, nos dão duas operações:
  1. Soma das ternas:
    Isso significa que a gente soma cada componente separadamente.
  2. Multiplicação por escalar:
    Aqui, multiplicar uma terna por um número real resulta em , independentemente de .
Vamos precisar entender se, com essas operações, o conjunto das ternas forma um espaço vetorial, ou seja, se ele satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos que podemos adicionar e multiplicar por escalares (números reais, no nosso caso) e que obedecem a certas regras, como:
  • Associatividade da soma
  • Comutatividade da soma
  • Existência de um elemento neutro
  • Existência de inversos
  • Distribui��ão da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores
  • Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares
  • Multiplicação associativa
  • Existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações dadas.

Passo 3

1. Associatividade da soma:
Para quaisquer ternas , e , precisamos que:
Calculando ambos os lados:
Como a adição de números reais é associativa, isso é verdadeiro.
2. Comutatividade da soma:
Precisamos que:
Calculando:
Novamente, como a adição de reais é comutativa, isso funciona.
3. Elemento neutro da soma:
Existe uma terna que, quando somada a qualquer terna , retorna ? Sim, a terna :
4. Inverso aditivo:
Para qualquer terna , existe uma terna que satisfaz:

Passo 4

5. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores:
Precisamos que:
E também:
Comparando os dois lados, vemos que a menos que 1 = 2, o que não é verdade. Portanto, essa propriedade não é satisfeita.
6. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
Mesmo que já tenhamos encontrado uma propriedade que não é satisfeita, podemos observar que:
E:
Claro que , então essa propriedade também não é satisfeita.
7. Multiplicação associativa:
Não precisamos verificar, pois já falhamos em algumas propriedades anteriores.
8. Elemento neutro para a multiplicação por escalar:
Normalmente, esperamos que . Vamos ver:
Isso só iguala a se , o que não é sempre o caso. Logo, essa propriedade não é satisfeita.

Resposta

Com as operações dadas, o conjunto das ternas ordenadas de números reais não forma um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, como a distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores e a existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar.

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© Qual a classificação deste sistema?
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Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
tal que