O conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais (x, y, z) com as operações
c (x, y, z) oplus(x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, z+z^prime) c odot(x, y, z)=(x, 1, z)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo! A gente tem todas as ternas ordenadas de números reais, ou seja, conjuntos como (x, y, z) onde x, y e z são números reais. Além disso, nos dão duas operações:
  1. Soma das ternas:
    (x, y, z) oplus (x^prime, y^prime, z^prime) = (x + x^prime, y + y^prime, z + z^prime)
    Isso significa que a gente soma cada componente separadamente.
  2. Multiplicação por escalar:
    c odot (x, y, z) = (x, 1, z)
    Aqui, multiplicar uma terna por um número real c resulta em (x, 1, z), independentemente de c.
Vamos precisar entender se, com essas operações, o conjunto das ternas forma um espaço vetorial, ou seja, se ele satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos que podemos adicionar e multiplicar por escalares (números reais, no nosso caso) e que obedecem a certas regras, como:
  • Associatividade da soma
  • Comutatividade da soma
  • Existência de um elemento neutro
  • Existência de inversos
  • Distribui��ão da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores
  • Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares
  • Multiplicação associativa
  • Existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar
Vamos verificar se todas essas propriedades são satisfeitas pelas operações dadas.

Passo 3

1. Associatividade da soma:
Para quaisquer ternas (x, y, z), (x', y', z') e (x'', y'', z''), precisamos que:
[(x, y, z) oplus (x', y', z')] oplus (x'', y'', z'') = (x, y, z) oplus [(x', y', z') oplus (x'', y'', z'')]
Calculando ambos os lados:
((x + x') + x'', (y + y') + y'', (z + z') + z'') = (x + (x' + x''), y + (y' + y''), z + (z' + z''))
Como a adição de números reais é associativa, isso é verdadeiro.
2. Comutatividade da soma:
Precisamos que:
(x, y, z) oplus (x', y', z') = (x', y', z') oplus (x, y, z)
Calculando:
(x + x', y + y', z + z') = (x' + x, y' + y, z' + z)
Novamente, como a adição de reais é comutativa, isso funciona.
3. Elemento neutro da soma:
Existe uma terna que, quando somada a qualquer terna (x, y, z), retorna (x, y, z)? Sim, a terna (0, 0, 0):
(x, y, z) oplus (0, 0, 0) = (x + 0, y + 0, z + 0) = (x, y, z)
4. Inverso aditivo:
Para qualquer terna (x, y, z), existe uma terna (-x, -y, -z) que satisfaz:
(x, y, z) oplus (-x, -y, -z) = (0, 0, 0)

Passo 4

5. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores:
Precisamos que:
c odot [(x, y, z) oplus (x', y', z')] = c odot (x + x', y + y', z + z') = (x + x', 1, z + z')
E também:
c odot (x, y, z) oplus c odot (x', y', z') = (x, 1, z) oplus (x', 1, z') = (x + x', 2, z + z')
Comparando os dois lados, vemos que (x + x', 1, z + z') neq (x + x', 2, z + z') a menos que 1 = 2, o que não é verdade. Portanto, essa propriedade não é satisfeita.
6. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
Mesmo que já tenhamos encontrado uma propriedade que não é satisfeita, podemos observar que:
(c + d) odot (x, y, z) = (x, 1, z)
E:
c odot (x, y, z) oplus d odot (x, y, z) = (x, 1, z) oplus (x, 1, z) = (2x, 2, 2z)
Claro que (x, 1, z) neq (2x, 2, 2z), então essa propriedade também não é satisfeita.
7. Multiplicação associativa:
Não precisamos verificar, pois já falhamos em algumas propriedades anteriores.
8. Elemento neutro para a multiplicação por escalar:
Normalmente, esperamos que 1 odot (x, y, z) = (x, y, z). Vamos ver:
1 odot (x, y, z) = (x, 1, z)
Isso só iguala a (x, y, z) se y = 1, o que não é sempre o caso. Logo, essa propriedade não é satisfeita.

Resposta

Com as operações dadas, o conjunto das ternas ordenadas de números reais não forma um espaço vetorial, pois não satisfaz todas as propriedades necessárias, como a distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de vetores e a existência de um elemento neutro para a multiplicação por escalar.

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