Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 que possui: autovalores 4 e-5 associados aos autovetores (alpha, 0) e (0, beta), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que tem dois autovalores específicos, e , associados aos autovetores e , respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores, para montar a matriz dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em pode ser representada por uma matriz . Essa matriz transforma um vetor em outro vetor .

Passo 3

Sabemos que se Av = lambda v é um autovetor de com autovalor , então:
Isso significa que, aplicando a matriz no vetor , o resultado é o vetor multiplicado por .

Passo 4

Vamos aplicar isso aos autovetores fornecidos. Primeiro, para o autovetor A alpha 0 = 4 alpha 0 com autovalor aalpha + b cdot 0 = 4alpha Rightarrow a = 4 :
calpha + d cdot 0 = 0 Rightarrow c = 0
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 5

Agora, para o autovetor A 0 beta = -5 0 beta com autovalor a cdot 0 + bbeta = 0 Rightarrow b = 0 :
c cdot 0 + dbeta = -5beta Rightarrow d = -5
Isso nos dá:

Passo 6

Com os valores de A = 4 & 0 0 & -5 , , e encontrados, podemos montar a matriz da transformação linear:

Resposta

A transformação linear T = 4 & 0 0 & -5 é representada pela matriz:

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