Encontre a transformação linear
que possui: autovalores
associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear
que tem dois autovalores específicos,
e
, associados aos autovetores
e
, respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores, para montar a matriz dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear em
pode ser representada por uma matriz
. Essa matriz transforma um vetor
em outro vetor
.
Passo 3
Sabemos que se
é um autovetor de
com autovalor
, então:
Isso significa que, aplicando a matriz
no vetor
, o resultado é o vetor
multiplicado por
.
Passo 4
Vamos aplicar isso aos autovetores fornecidos. Primeiro, para o autovetor
com autovalor
:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 5
Agora, para o autovetor
com autovalor
:
Isso nos dá:
Passo 6
Com os valores de
,
,
e
encontrados, podemos montar a matriz
da transformação linear:
Resposta
A transformação linear
é representada pela matriz:
Exercícios relacionados
Considere a matriz identidade
, de ordem 4 . Seja
, com
, calcule
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
tal que
Ache os autovalores e autovetores correspondentes as transformações lineares:
tal que
Considere a matriz
. Calcule
, para
.