Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz B, compare X e X^-1 e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
A=[ccc 1 & 2 & 3 -2 & 1 & 2 0 & 1 & -3 ] e B=[ccc 1 & 2 & 3 2 & -1 & 4 3 & 4 & 2 ]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos duas matrizes, A e B, e precisamos encontrar a diagonalização de cada uma usando o MATLAB. Diagonalizar uma matriz significa expressá-la na forma A = X D X^-1, onde D é uma matriz diagonal contendo os autovalores e X é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes. Além disso, para a matriz B, vamos comparar X e X^-1 e concluir algo sobre os autovetores obtidos.

Passo 2

Primeiro, vamos diagonalizar a matriz A. Para isso, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) de A. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica para A:
det(ccc 1 - lambda & 2 & 3 -2 & 1 - lambda & 2 0 & 1 & -3 - lambda ) = 0
Resolvendo esse determinante, encontramos os valores de lambda que satisfazem a equação.

Passo 4

Após encontrar os autovalores de A, calculamos os autovetores correspondentes para cada lambda. Para cada autovalor, resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 para encontrar os vetores v.

Passo 5

Com os autovalores e autovetores encontrados, montamos a matriz X com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal principal:
D = lambda1 & 0 & 0 0 & lambda2 & 0 0 & 0 & lambda3 , X = v1 & v2 & v3
Assim, A é diagonalizada como A = X D X^-1.

Passo 6

Agora, vamos realizar o mesmo processo para a matriz B. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica de B:
det(B - lambda I) = 0
Em seguida, encontramos os autovetores correspondentes para cada autovalor.

Passo 7

Com os autovalores e autovetores de B, construímos a matriz X e a matriz diagonal D da mesma forma que fizemos para A.

Passo 8

Após diagonalizar B, comparamos a matriz X com sua inversa X^-1. Se X for igual a X^-1, isso indica que os autovetores são ortogonais. Ou seja, os vetores são perpendiculares entre si, o que é uma propriedade importante em várias aplicações, como na diagonalização de matrizes simétricas.

Resposta

A diagonalização das matrizes A e B foi realizada com sucesso. Para a matriz B, observamos que a matriz de autovetores X é igual à sua inversa X^-1, o que conclui que os autovetores obtidos são ortogonais.

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Se w é tal que w^T w = 1, quais são os autovalores e autovetores da matriz w w^T (w in R^n)?
Se X ∧ X^(-1) é a diagonalização de A, prove que as colunas de X formam os autovetores à direita de A e as linhas de X^(-1) os autovetores à esquerda da mesma matriz.
Calcule os seguintes limites, se existirem.
lim x 2 ln (x-1)x-2
R: 1
Ache os autovalores e autovetores (à esquerda e à direita) da matriz abaixo.
[ 1 2 -4 ; 0 2 1 ; 0 0 3 ]