Para cada uma das matrizes abaixo, calcule, usando o MATLAB, a diagonalização correspondente. Para a matriz , compare e e diga o que você pode concluir sobre os autovetores obtidos.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos duas matrizes, A e B, e precisamos encontrar a diagonalização de cada uma usando o MATLAB. Diagonalizar uma matriz significa expressá-la na forma A = X D X^-1, onde D é uma matriz diagonal contendo os autovalores e X é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes. Além disso, para a matriz B, vamos comparar X e X^-1 e concluir algo sobre os autovetores obtidos.
Passo 2
Primeiro, vamos diagonalizar a matriz A. Para isso, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) de A. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Resolvendo esse determinante, encontramos os valores de lambda que satisfazem a equação.
Passo 4
Após encontrar os autovalores de A, calculamos os autovetores correspondentes para cada lambda. Para cada autovalor, resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 para encontrar os vetores v.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores encontrados, montamos a matriz X com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal principal:
Agora, vamos realizar o mesmo processo para a matriz B. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica de B:
det(B - lambda I) = 0
Em seguida, encontramos os autovetores correspondentes para cada autovalor.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores de B, construímos a matriz X e a matriz diagonal D da mesma forma que fizemos para A.
Passo 8
Após diagonalizar B, comparamos a matriz X com sua inversa X^-1. Se X for igual a X^-1, isso indica que os autovetores são ortogonais. Ou seja, os vetores são perpendiculares entre si, o que é uma propriedade importante em várias aplicações, como na diagonalização de matrizes simétricas.
Resposta
A diagonalização das matrizes A e B foi realizada com sucesso. Para a matriz B, observamos que a matriz de autovetores X é igual à sua inversa X^-1, o que conclui que os autovetores obtidos são ortogonais.