Calcule os seguintes limites, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 2.
- Numerador:
. Quando , , então . - Denominador:
. Quando , .
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital nos diz que, se
é uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular:
Aplicando isso ao nosso limite:
- Derivada do numerador (
):
- Derivada do denominador (
):
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Passo 5
Finalmente, calculamos o limite:
Resposta
O limite é igual a
.