Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e precisa encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso significa que vamos descobrir todas as possíveis soluções que satisfazem as três equações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e redução de sistemas. Vamos precisar das técnicas para resolver sistemas lineares e entender o que é uma base para o conjunto das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x - y2 + z + w = 0 y + 2z + 2w = 0 -2x + y - z - w = 0
Nosso objetivo é encontrar todos os valores de , , e que satisfazem essas três equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos transformar esse sistema em uma matriz aumentada para facilitar a resolução. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável (, , , ).
Passo 4
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o primeiro elemento da primeira linha, que é 1).
Primeiro, adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha para eliminar o 1 & -12 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 2 & 2 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 :
Passo 5
Agora, a matriz está em uma forma triangular superior. Vamos reescrever as equações correspondentes:
Podemos ver que as variáveis e são livres, ou seja, podemos expressá-las em termos de parâmetros. Vamos escolher , onde é um parâmetro real.
Passo 6
Com z + t = 0 implies z = -t , podemos resolver a terceira equação para y + 2(-t) + 2t = y - 2t + 2t = y = 0 :
Agora, substituímos e na segunda equação:
Então, .
Passo 7
Finalmente, substituímos x - 12(0) + (-t) + t = x - t + t = x = 0 , e na primeira equação para encontrar :
Então, .
Resposta
Todas as soluções do sistema são dadas por:
x = 0 y = 0 z = -t w = t
Onde 0 0 -t t , g| , t in R é um número real. Podemos expressar o conjunto das soluções como:
0 0 -1 1
Uma base para esse conjunto é o vetor:
Isso significa que todas as soluções podem ser geradas multiplicando esse vetor por qualquer número real .