Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e precisa encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso significa que vamos descobrir todas as possíveis soluções que satisfazem as três equações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e redução de sistemas. Vamos precisar das técnicas para resolver sistemas lineares e entender o que é uma base para o conjunto das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Nosso objetivo é encontrar todos os valores de , , e que satisfazem essas três equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos transformar esse sistema em uma matriz aumentada para facilitar a resolução. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável ( , , , ).

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o primeiro elemento da primeira linha, que é 1).
Primeiro, adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha para eliminar o :

Passo 5

Agora, a matriz está em uma forma triangular superior. Vamos reescrever as equações correspondentes:
Podemos ver que as variáveis e são livres, ou seja, podemos expressá-las em termos de parâmetros. Vamos escolher , onde é um parâmetro real.

Passo 6

Com , podemos resolver a terceira equação para :
Agora, substituímos e na segunda equação:
Então, .

Passo 7

Finalmente, substituímos , e na primeira equação para encontrar :
Então, .

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
Onde é um número real. Podemos expressar o conjunto das soluções como:
Uma base para esse conjunto é o vetor:
Isso significa que todas as soluções podem ser geradas multiplicando esse vetor por qualquer número real .

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Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam uma matriz invertível e um conjunto de vetores linearmente independente do então também é linearmente independente.
Determine quais dos seguintes polinômios são subespaços de todos os polinômios para os quais .
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 1 .