Seja T: R^4 R^3 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule uma base para a imagem de T, i.e., para T(R^4) subset R^3.
A=(cccc 1 & -1 / 2 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2 -2 & 1 & -2 & -2 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que basicamente são todos os vetores que a transformação pode “alcançar” em . Para isso, vamos precisar trabalhar com o conceito de espaço imagem e colunas pivot da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz A= 1 & -12 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2 -2 & 1 & -2 & -2 :
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . Nosso objetivo é encontrar quais dessas colunas são “importantes”, ou seja, quais são as colunas pivot que formam a base da imagem.

Passo 3

Para identificar as colunas pivot, vamos reduzir a matriz Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1 Rightarrow -2 + 2 times 1 & 1 + 2 times (-12) & -2 + 2 times 1 & -2 + 2 times 1 = 0 & 0 & 0 & 0 para a forma de escada (forma escalonada). Vamos fazer operações elementares nas linhas:
  1. A primeira coluna já tem um 1 na primeira linha, então vamos usá-lo como pivô.
  2. Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para a terceira linha: 1 & -12 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0
  3. Agora, olhamos para a segunda coluna. Já que a segunda linha tem zeros nas duas primeiras colunas, vamos para a terceira coluna. O elemento na segunda linha, terceira coluna, será nosso próximo pivô.
  4. Vamos zerar o elemento abaixo desse pivô na terceira coluna (que já é zero).
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Vemos que as colunas com pivôs são a primeira e a terceira.

Passo 4

As colunas pivot da matriz original são a primeira e a terceira coluna. Portanto, essas colunas formarão a base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de 1 0 -2 , 1 2 -2 é formada pelos vetores das primeiras e terceiras colunas de :

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