Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma transformação linear definida pela matriz . A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que basicamente são todos os vetores que a transformação pode “alcançar” em . Para isso, vamos precisar trabalhar com o conceito de espaço imagem e colunas pivot da matriz .
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . Nosso objetivo é encontrar quais dessas colunas são “importantes”, ou seja, quais são as colunas pivot que formam a base da imagem.
Passo 3
Para identificar as colunas pivot, vamos reduzir a matriz Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1 Rightarrow -2 + 2 times 1 & 1 + 2 times (-12) & -2 + 2 times 1 & -2 + 2 times 1 = 0 & 0 & 0 & 0 para a forma de escada (forma escalonada). Vamos fazer operações elementares nas linhas:
A primeira coluna já tem um 1 na primeira linha, então vamos usá-lo como pivô.
Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para a terceira linha: 1 & -12 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Agora, olhamos para a segunda coluna. Já que a segunda linha tem zeros nas duas primeiras colunas, vamos para a terceira coluna. O elemento na segunda linha, terceira coluna, será nosso próximo pivô.
Vamos zerar o elemento abaixo desse pivô na terceira coluna (que já é zero).
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Vemos que as colunas com pivôs são a primeira e a terceira.
Passo 4
As colunas pivot da matriz original são a primeira e a terceira coluna. Portanto, essas colunas formarão a base para a imagem de .
Resposta
Uma base para a imagem de 1 0 -2 , 1 2 -2 é formada pelos vetores das primeiras e terceiras colunas de :