Determine quais dos seguintes polinômios são subespaços de todos os polinômios para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente descobrir quais polinômios dentro do conjunto (que são todos os polinômios de grau no máximo 3) satisfazem a condição . O objetivo é verificar se esse conjunto de polinômios forma um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as propriedades que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço é basicamente um “espaço” dentro de outro espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só. No nosso caso, é o espaço vetorial e queremos ver se o conjunto dos polinômios que satisfazem também forma um espaço vetorial.

Passo 3

Para verificar se um conjunto é um subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, o polinômio deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O polinômio zero em é . Vamos somar os coeficientes:
Isso satisfaz a condição . Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 5

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer no nosso conjunto:
A soma deles é:
Vamos somar os coeficientes:
Então, a soma também satisfaz a condição e está no conjunto.

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer no conjunto:
E multiplicar por um escalar :
Vamos somar os coeficientes:
Portanto, também satisfaz a condição e está no conjunto.

Resposta

Como o conjunto dos polinômios , onde , satisfaz todas as propriedades necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que esse conjunto é um subespaço de .

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