Determine quais dos seguintes polinômios são subespaços de P3 todos os polinômios a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 para os quais a0+a1+a2+a3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente descobrir quais polinômios dentro do conjunto P3 (que são todos os polinômios de grau no máximo 3) satisfazem a condição a0 + a1 + a2 + a3 = 0. O objetivo é verificar se esse conjunto de polinômios forma um subespaço de P3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as propriedades que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço é basicamente um “espaço” dentro de outro espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só. No nosso caso, P3 é o espaço vetorial e queremos ver se o conjunto dos polinômios que satisfazem a0 + a1 + a2 + a3 = 0 também forma um espaço vetorial.

Passo 3

Para verificar se um conjunto é um subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, o polinômio 0 deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

1. Contém o vetor zero:
O polinômio zero em P3 é 0 + 0x + 0x^2 + 0x^3. Vamos somar os coeficientes:
0 + 0 + 0 + 0 = 0
Isso satisfaz a condição a0 + a1 + a2 + a3 = 0. Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 5

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer no nosso conjunto:
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 com a0 + a1 + a2 + a3 = 0
q(x) = b0 + b1x + b2x^2 + b3x^3 com b0 + b1 + b2 + b3 = 0
A soma deles é:
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 + (a3 + b3)x^3
Vamos somar os coeficientes:
(a0 + b0) + (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) = (a0 + a1 + a2 + a3) + (b0 + b1 + b2 + b3) = 0 + 0 = 0
Então, a soma p(x) + q(x) também satisfaz a condição e está no conjunto.

Passo 6

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer no conjunto:
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 com a0 + a1 + a2 + a3 = 0
E multiplicar por um escalar k:
k cdot p(x) = (k a0) + (k a1)x + (k a2)x^2 + (k a3)x^3
Vamos somar os coeficientes:
k a0 + k a1 + k a2 + k a3 = k(a0 + a1 + a2 + a3) = k cdot 0 = 0
Portanto, k cdot p(x) também satisfaz a condição e está no conjunto.

Resposta

Como o conjunto dos polinômios a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3, onde a0 + a1 + a2 + a3 = 0, satisfaz todas as propriedades necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), concluímos que esse conjunto é um subespaço de P3.

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