Seja E=a1 e^x+a2 e^x-1+a3 e^x-2+a4 e^x-3 ; a1, a2, a3, a4 in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 1 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto E formado por combinações lineares de funções exponenciais na forma a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3, onde os coeficientes a1, a2, a3, a4 são números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os reais e se possui dimensão 1. Para isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz certas propriedades, como fechar-se sob adição e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero. No nosso caso, E precisa atender a essas propriedades para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos verificar se E contém o vetor zero. Substituindo a1 = a2 = a3 = a4 = 0 na expressão de E, temos:
0 cdot e^x + 0 cdot e^x-1 + 0 cdot e^x-2 + 0 cdot e^x-3 = 0
Portanto, o vetor zero está em E.

Passo 4

Agora, vamos verificar se E está fechada sob adição. Se pegarmos duas funções da forma a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3 e b1 e^x + b2 e^x-1 + b3 e^x-2 + b4 e^x-3, sua soma será:
(a1+b1) e^x + (a2+b2) e^x-1 + (a3+b3) e^x-2 + (a4+b4) e^x-3
Que também está na forma de E, garantindo a fechamento sob adição.

Passo 5

Vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma função de E por um escalar c in R, obtemos:
c cdot (a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3) = (c a1) e^x + (c a2) e^x-1 + (c a3) e^x-2 + (c a4) e^x-3
Que também está na forma de E, garantindo o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Com as propriedades de fechamento verificadas, podemos concluir que E é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

Passo 7

Agora, vamos determinar a dimensão de E. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Observando a expressão de E:
a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3
Podemos reescrever cada termo como potências de e^x-1:
a1 e^x = a1 e cdot e^x-1, a2 e^x-1, a3 e^x-2 = a3 e^-1 cdot e^x-1, a4 e^x-3 = a4 e^-2 cdot e^x-1
Fica claro que todas as combinações são múltiplos de e^x-1. Isso significa que qualquer função em E pode ser escrita como um único múltiplo de e^x-1.

Passo 8

Como todas as funções em E são múltiplos de e^x-1, a base de E contém apenas um vetor: e^x-1. Portanto, a dimensão de E é 1.

Resposta

E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 1.

Exercícios relacionados