Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 1 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
formado por combinações lineares de funções exponenciais na forma
, onde os coeficientes
são números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os reais e se possui dimensão 1. Para isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz certas propriedades, como fechar-se sob adição e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero. No nosso caso,
precisa atender a essas propriedades para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos verificar se
contém o vetor zero. Substituindo
na expressão de
, temos:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
está fechada sob adição. Se pegarmos duas funções da forma
e
, sua soma será:
Que também está na forma de
, garantindo a fechamento sob adição.
Passo 5
Vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma função de
por um escalar
, obtemos:
Que também está na forma de
, garantindo o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Com as propriedades de fechamento verificadas, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Observando a expressão de
:
Podemos reescrever cada termo como potências de
:
Fica claro que todas as combinações são múltiplos de
. Isso significa que qualquer função em
pode ser escrita como um único múltiplo de
.
Passo 8
Como todas as funções em
são múltiplos de
, a base de
contém apenas um vetor:
. Portanto, a dimensão de
é 1.