Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 1 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto formado por combinações lineares de funções exponenciais na forma , onde os coeficientes são números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os reais e se possui dimensão 1. Para isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz certas propriedades, como fechar-se sob adição e multiplicação por escalar, e se contém o vetor zero. No nosso caso, precisa atender a essas propriedades para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos verificar se contém o vetor zero. Substituindo na expressão de , temos:
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar se está fechada sob adição. Se pegarmos duas funções da forma e , sua soma será:
Que também está na forma de , garantindo a fechamento sob adição.
Passo 5
Vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos uma função de por um escalar , obtemos:
Que também está na forma de , garantindo o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Com as propriedades de fechamento verificadas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre .
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base. Observando a expressão de :
Podemos reescrever cada termo como potências de :
Fica claro que todas as combinações são múltiplos de . Isso significa que qualquer função em pode ser escrita como um único múltiplo de .
Passo 8
Como todas as funções em são múltiplos de , a base de contém apenas um vetor: . Portanto, a dimensão de é 1.