Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam uma matriz invertível e um conjunto de vetores linearmente independente do então também é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem que é invertível, ou seja, ela tem um inverso . Também temos um conjunto de vetores no espaço que são linearmente independentes. A pergunta é: se aplicarmos a matriz em cada um desses vetores, o novo conjunto também será linearmente independente? Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se , então .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto transformado . Queremos verificar se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, assumimos que uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:

Passo 4

Podemos fatorar a matriz fora da combinação linear:

Passo 5

Como é invertível, o único vetor que satisfaz é . Portanto, temos:

Passo 6

Mas sabemos que é um conjunto de vetores linearmente independente. Isso significa que a única solução para essa equação é .

Passo 7

Como os coeficientes são todos zero, concluímos que o conjunto também é linearmente independente.

Resposta

Verdadeiro. Multiplicar um conjunto de vetores linearmente independentes por uma matriz invertível preserva a independência linear.

Exercícios relacionados

Considere o conjunto . Mostre que é um espaço vetorial sobre , quando munido de cada uma das seguintes operações :
(b) e .
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 4.
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.