Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam
uma matriz
invertível e
um conjunto de vetores linearmente independente do
então
também é linearmente independente.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
que é invertível, ou seja, ela tem um inverso
. Também temos um conjunto de vetores
no espaço
que são linearmente independentes. A pergunta é: se aplicarmos a matriz
em cada um desses vetores, o novo conjunto
também será linearmente independente? Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto transformado
. Queremos verificar se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, assumimos que uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:
Passo 4
Podemos fatorar a matriz
fora da combinação linear:
Passo 5
Como
é invertível, o único vetor que satisfaz
é
. Portanto, temos:
Passo 6
Mas sabemos que
é um conjunto de vetores linearmente independente. Isso significa que a única solução para essa equação é
.
Passo 7
Como os coeficientes
são todos zero, concluímos que o conjunto
também é linearmente independente.
Resposta
Verdadeiro. Multiplicar um conjunto de vetores linearmente independentes por uma matriz invertível preserva a independência linear.