Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam A uma matriz n times n invertível e v1, v2, ldots, vk um conjunto de vetores linearmente independente do R^n então A v1, A v2, ldots, A vk também é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem que é invertível, ou seja, ela tem um inverso . Também temos um conjunto de vetores no espaço que são linearmente independentes. A pergunta é: se aplicarmos a matriz em cada um desses vetores, o novo conjunto também será linearmente independente? Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se , então .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto transformado d1 Av1 + d2 Av2 + ldots + dk Avk = 0 . Queremos verificar se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, assumimos que uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:

Passo 4

Podemos fatorar a matriz A(d1 v1 + d2 v2 + ldots + dk vk) = 0 fora da combinação linear:

Passo 5

Como d1 v1 + d2 v2 + ldots + dk vk = 0 é invertível, o único vetor que satisfaz é . Portanto, temos:

Passo 6

Mas sabemos que é um conjunto de vetores linearmente independente. Isso significa que a única solução para essa equação é .

Passo 7

Como os coeficientes são todos zero, concluímos que o conjunto também é linearmente independente.

Resposta

Verdadeiro. Multiplicar um conjunto de vetores linearmente independentes por uma matriz invertível preserva a independência linear.

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