Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam uma matriz invertível e um conjunto de vetores linearmente independente do então também é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem que é invertível, ou seja, ela tem um inverso . Também temos um conjunto de vetores no espaço que são linearmente independentes. A pergunta é: se aplicarmos a matriz em cada um desses vetores, o novo conjunto também será linearmente independente? Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se , então .
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto transformado . Queremos verificar se esse conjunto também é linearmente independente. Para isso, assumimos que uma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero:
Passo 4
Podemos fatorar a matriz fora da combinação linear:
Passo 5
Como é invertível, o único vetor que satisfaz é . Portanto, temos:
Passo 6
Mas sabemos que é um conjunto de vetores linearmente independente. Isso significa que a única solução para essa equação é .
Passo 7
Como os coeficientes são todos zero, concluímos que o conjunto também é linearmente independente.
Resposta
Verdadeiro. Multiplicar um conjunto de vetores linearmente independentes por uma matriz invertível preserva a independência linear.