Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
l x-y / 2+z+w=0 y+2 z+2 w=0 -2 x+y-z-w=0
\footnotetext{
Date: 2024.1.
1 t.q. = tal que.
Questão 15
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
l 2 x-y+z+w=0 6 x-4 y+z+w=0 2 x-y+2 z+2 w=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas: 2x - y + z + w = 0 6x - 4y + z + w = 0 2x - y + 2z + 2w = 0 , , e . O objetivo é achar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso significa que queremos encontrar vetores que, combinados de certas maneiras, dão todas as possíveis soluções desse sistema.
As equações são:
Vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver esse sistema e encontrar as relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que ajuda a visualizar melhor as equações:
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 6 & -4 & 1 & 1 & | & 0 2 & -1 & 2 & 2 & | & 0
Nossa meta é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações que não mudam as soluções do sistema.

Passo 3

Vamos começar simplificando a segunda linha. Podemos subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1 :
6 - 3 times 2 = 0 (x)
Calculando:
-4 - 3 times (-1) = -4 + 3 = -1 (y)
1 - 3 times 1 = 1 - 3 = -2 (z)
1 - 3 times 1 = 1 - 3 = -2 (w)
0 - 3 times 0 = 0 (constante)
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & -2 & -2 & | & 0 2 & -1 & 2 & 2 & | & 0
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o Linha 3 = Linha 3 - Linha 1 :
2 - 2 = 0 (x)
Calculando:
-1 - (-1) = 0 (y)
2 - 1 = 1 (z)
2 - 1 = 1 (w)
0 - 0 = 0 (constante)
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & -2 & -2 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora resolver as equações de baixo para cima. A terceira linha nos dá:
z + w = 0 Rightarrow z = -w
Substituímos - y - 2(-w) - 2w = 0 Rightarrow -y + 2w - 2w = 0 Rightarrow -y = 0 Rightarrow y = 0 na segunda linha:
2x - 0 + (-w) + w = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Agora, substituímos e na primeira linha:

Passo 6

Até agora, descobrimos que:
x = 0, y = 0, z = -w
Como temos quatro variáveis e três equações, podemos escolher uma variável como livre. Vamos deixar x = 0, y = 0, z = -t, w = t , onde x y z w = t 0 0 -1 1 pode ser qualquer número real.
Então, as soluções são:
Podemos escrever isso em forma de vetor:

[

t
]

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor 0 0 -1 1 . Ou seja, todas as soluções podem ser escritas como múltiplos desse vetor.

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