Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
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Date: 2024.1.
1 t.q. = tal que.
Questão 15
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
l 2 x-y+z+w=0 6 x-4 y+z+w=0 2 x-y+2 z+2 w=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas: 2x - y + z + w = 0 6x - 4y + z + w = 0 2x - y + 2z + 2w = 0 , , e . O objetivo é achar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso significa que queremos encontrar vetores que, combinados de certas maneiras, dão todas as possíveis soluções desse sistema.
As equações são:
Vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver esse sistema e encontrar as relações entre as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que ajuda a visualizar melhor as equações:
Nossa meta é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações que não mudam as soluções do sistema.
Passo 3
Vamos começar simplificando a segunda linha. Podemos subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 3 times Linha 1 :
Vamos agora resolver as equações de baixo para cima. A terceira linha nos dá:
z + w = 0 Rightarrow z = -w
Substituímos - y - 2(-w) - 2w = 0 Rightarrow -y + 2w - 2w = 0 Rightarrow -y = 0 Rightarrow y = 0 na segunda linha:
2x - 0 + (-w) + w = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Agora, substituímos e na primeira linha:
Passo 6
Até agora, descobrimos que:
x = 0, y = 0, z = -w
Como temos quatro variáveis e três equações, podemos escolher uma variável como livre. Vamos deixar x = 0, y = 0, z = -t, w = t , onde x y z w = t 0 0 -1 1 pode ser qualquer número real.
Então, as soluções são:
Podemos escrever isso em forma de vetor:
[
t
]
Resposta
Uma base para o conjunto das soluções é o vetor 0 0 -1 1 . Ou seja, todas as soluções podem ser escritas como múltiplos desse vetor.