Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
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Date: 2024.1.
1 t.q. tal que.
Questão 15
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas: , , e . O objetivo é achar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso significa que queremos encontrar vetores que, combinados de certas maneiras, dão todas as possíveis soluções desse sistema.
As equações são:
Vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver esse sistema e encontrar as relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que ajuda a visualizar melhor as equações:
Nossa meta é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações que não mudam as soluções do sistema.

Passo 3

Vamos começar simplificando a segunda linha. Podemos subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o :
Calculando:
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o :
Calculando:
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora resolver as equações de baixo para cima. A terceira linha nos dá:
Substituímos na segunda linha:
Agora, substituímos e na primeira linha:

Passo 6

Até agora, descobrimos que:
Como temos quatro variáveis e três equações, podemos escolher uma variável como livre. Vamos deixar , onde pode ser qualquer número real.
Então, as soluções são:
Podemos escrever isso em forma de vetor:

[

t
]

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor . Ou seja, todas as soluções podem ser escritas como múltiplos desse vetor.

Exercícios relacionados

Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Encontrar a expressão de .
Seja um subespaço de . Determine uma base para .
Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3.