Seja E=a cos (x)+b sin (x)+c e^i x ; a, b, c in R, onde i é o número imaginário. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais e que sua dimensão é 3. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e independência linear para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. No nosso caso, queremos verificar se cumpre esses requisitos.

Passo 3

Vamos verificar se (a1 + a2) cos(x) + (b1 + b2) sin(x) + (c1 + c2) e^i x é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se pegarmos dois elementos da k(a cos(x) + b sin(x) + c e^i x) = (ka) cos(x) + (kb) sin(x) + (kc) e^i x , digamos e , e somarmos, teremos:
Que também pertence a . O mesmo vale para a multiplicação por um escalar :
Também pertence a .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que existe um vetor zero em 0 cos(x) + 0 sin(x) + 0 e^i x = 0 . Se escolhermos , e , o elemento será:
Então, o vetor zero está em .

Passo 5

Os demais axiomas do espaço vetorial (como associatividade, distributividade, etc.) também são cumpridos diretamente pelas funções trigonométricas e exponenciais, que são operações lineares. Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre .

Passo 6

Agora, vamos determinar a dimensão de a cos(x) + b sin(x) + c e^i x = 0 . Para isso, precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear nula:
Para todos os , isso implica que , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três vetores linearmente independentes, a dimensão do espaço vetorial é 3.

Resposta

é um espaço vetorial sobre com dimensão 3.

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