Seja
, onde
é o número imaginário. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre os números reais
e que sua dimensão é 3. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e independência linear para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. No nosso caso, queremos verificar se
cumpre esses requisitos.
Passo 3
Vamos verificar se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se pegarmos dois elementos da
, digamos
e
, e somarmos, teremos:
Que também pertence a
. O mesmo vale para a multiplicação por um escalar
:
Também pertence a
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que existe um vetor zero em
. Se escolhermos
,
e
, o elemento será:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 5
Os demais axiomas do espaço vetorial (como associatividade, distributividade, etc.) também são cumpridos diretamente pelas funções trigonométricas e exponenciais, que são operações lineares. Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a dimensão de
. Para isso, precisamos verificar se os vetores
,
e
são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear nula:
Para todos os
, isso implica que
, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três vetores linearmente independentes, a dimensão do espaço vetorial
é 3.