Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais e que sua dimensão é 3. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e independência linear para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. No nosso caso, queremos verificar se cumpre esses requisitos.
Passo 3
Vamos verificar se é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se pegarmos dois elementos da , digamos e , e somarmos, teremos:
Que também pertence a . O mesmo vale para a multiplicação por um escalar :
Também pertence a .
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que existe um vetor zero em . Se escolhermos , e , o elemento será:
Então, o vetor zero está em .
Passo 5
Os demais axiomas do espaço vetorial (como associatividade, distributividade, etc.) também são cumpridos diretamente pelas funções trigonométricas e exponenciais, que são operações lineares. Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre .
Passo 6
Agora, vamos determinar a dimensão de . Para isso, precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear nula:
Para todos os , isso implica que , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três vetores linearmente independentes, a dimensão do espaço vetorial é 3.