Seja um subespaço de R^3. Determine uma base para S.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de vetores em definidos por , onde são números reais. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para esse subespaço . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Para encontrar essa base, vamos expressar os vetores de em termos dos parâmetros .
Passo 3
Vamos escrever o vetor genérico de v = (3a + 4b - 4c, 2a - 4b - 6c, -2a - 4b + 2c) usando os parâmetros v = a(3, 2, -2) + b(4, -4, -4) + c(-4, -6, 2) :
Podemos separar isso em combinações das variáveis :
Isso nos mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores , e .
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se não forem, podemos eliminar os vetores dependentes para encontrar uma base com vetores independentes. Para verificar a independência, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante:
3 & 4 & -4 2 & -4 & -6 -2 & -4 & 2
Calculando o determinante:
3 times (-4 times 2 - (-6) times (-4)) - 4 times (2 times 2 - (-6) times (-2)) + (-4) times (2 times (-4) - (-4) times (-2))
= 3 times (-8 - 24) - 4 times (4 - 12) - 4 times (-8 - 8)
= 3 times (-32) - 4 times (-8) - 4 times (-16)
= -96 + 32 + 64 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 5
Vamos encontrar quais vetores são dependentes. Observando os vetores (-4, -6, 2) = alpha (3, 2, -2) + beta (4, -4, -4) , -4 = 3alpha + 4beta e -6 = 2alpha - 4beta , tentamos expressar um deles em termos dos outros dois. Vamos tentar expressar 2 = -2alpha - 4beta como combinação de (-4, -6, 2) = 2(3, 2, -2) - 52(4, -4, -4) e .
Assumimos que existe e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e . Então:
Isso confirma que o terceiro vetor é dependente dos dois primeiros.
Passo 6
Como o terceiro vetor é dependente, podemos descartá-lo e ficar apenas com os vetores 3 & 4 2 & -4 = 3 times (-4) - 4 times 2 = -12 - 8 = -20 neq 0 e . Agora, precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. Para isso, calculamos o determinante de uma matriz formada por qualquer duas componentes desses vetores:
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes.