Seja E=a cos (x)+b sin (x)+c e^i x ; a, b, c in C, onde i é o número imaginário. Verifique que E é um espaço vetorial sobre C com dimensão 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem o conjunto E = a cos(x) + b sin(x) + c e^ix ; a, b, c in C e precisa verificar se ele é um espaço vetorial sobre os números complexos C com dimensão 2. Isso envolve entender conceitos de espaço vetorial, combinação linear e dimensão. Vamos precisar revisar o que é um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial sobre C é um conjunto onde podemos fazer soma de vetores e multiplicação por escalar (neste caso, escalar é um número complexo) e que essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.). Então, precisamos verificar se E satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando se E é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Tome dois elementos quaisquer de E:
u = a cos(x) + b sin(x) + c e^ix
v = d cos(x) + e sin(x) + f e^ix
Se somarmos u + v, temos:
u + v = (a + d) cos(x) + (b + e) sin(x) + (c + f) e^ix
Como a + d, b + e, e c + f são números complexos (já que C é fechado sob adição), u + v também pertence a E. Similarmente, para qualquer escalar k in C,
k cdot u = k a cos(x) + k b sin(x) + k c e^ix
e k a, k b, k c são em C, então k cdot u in E. Portanto, E é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 4

Agora, vamos identificar se E satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como existência do vetor zero, existência de inversos aditivos, associatividade e distributividade. Dado que C é um campo e as funções trigonométricas e exponenciais são bem comportadas, todas essas propriedades são satisfeitas. Logo, E é de fato um espaço vetorial sobre C.

Passo 5

Por último, precisamos determinar a dimensão de E. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço por combinações lineares. Observamos que as funções cos(x) e sin(x) podem gerar e^ix, já que e^ix = cos(x) + i sin(x). Portanto, não precisamos do termo e^ix separadamente para gerar o espaço. Assim, uma possível base para E é cos(x), sin(x), que são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Resposta

Concluímos que E é um espaço vetorial sobre C com dimensão 2, tendo cos(x), sin(x) como uma base.

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