Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem o conjunto e precisa verificar se ele é um espaço vetorial sobre os números complexos com dimensão 2. Isso envolve entender conceitos de espaço vetorial, combinação linear e dimensão. Vamos precisar revisar o que é um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial sobre é um conjunto onde podemos fazer soma de vetores e multiplicação por escalar (neste caso, escalar é um número complexo) e que essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.). Então, precisamos verificar se satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando se é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Tome dois elementos quaisquer de :
Se somarmos , temos:
Como , , e são números complexos (já que é fechado sob adição), também pertence a . Similarmente, para qualquer escalar ,
e , , são em , então . Portanto, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Agora, vamos identificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como existência do vetor zero, existência de inversos aditivos, associatividade e distributividade. Dado que é um campo e as funções trigonométricas e exponenciais são bem comportadas, todas essas propriedades são satisfeitas. Logo, é de fato um espaço vetorial sobre .
Passo 5
Por último, precisamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço por combinações lineares. Observamos que as funções e podem gerar , já que . Portanto, não precisamos do termo separadamente para gerar o espaço. Assim, uma possível base para é , que são linearmente independentes e geram todo o espaço.
Resposta
Concluímos que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2, tendo como uma base.