Seja
, onde
é o número imaginário. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem o conjunto
e precisa verificar se ele é um espaço vetorial sobre os números complexos
com dimensão 2. Isso envolve entender conceitos de espaço vetorial, combinação linear e dimensão. Vamos precisar revisar o que é um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial sobre
é um conjunto onde podemos fazer soma de vetores e multiplicação por escalar (neste caso, escalar é um número complexo) e que essas operações obedecem a certas propriedades (como associatividade, distributividade, etc.). Então, precisamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando se
é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Tome dois elementos quaisquer de
:
Se somarmos
, temos:
Como
,
, e
são números complexos (já que
é fechado sob adição),
também pertence a
. Similarmente, para qualquer escalar
,
e
,
,
são em
, então
. Portanto,
é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 4
Agora, vamos identificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, como existência do vetor zero, existência de inversos aditivos, associatividade e distributividade. Dado que
é um campo e as funções trigonométricas e exponenciais são bem comportadas, todas essas propriedades são satisfeitas. Logo,
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Passo 5
Por último, precisamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço por combinações lineares. Observamos que as funções
e
podem gerar
, já que
. Portanto, não precisamos do termo
separadamente para gerar o espaço. Assim, uma possível base para
é
, que são linearmente independentes e geram todo o espaço.
Resposta
Concluímos que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2, tendo
como uma base.