Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Encontrar a expressão de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. No problema, nos deram como age em três vetores que formam uma base ortogonal de . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que como é linear, se a gente souber como ela age em uma base, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer vetor. Aqui, a base é formada pelos vetores .

Passo 3

Vamos representar um vetor qualquer como uma combinação linear dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar em termos de .

Passo 4

Do segundo equação:
Agora substituímos na primeira e terceira equações:
Agora, podemos escrever:
Subtraindo (1) de (2):
Agora, voltando para (1):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
E já temos . Agora, substituindo em :

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos usar a linearidade da transformação :
Substituindo os valores dados:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Agora, somamos tudo:
Simplificando as componentes:
  • Componente x:
  • Componente y:
Vamos combinar as frações:
Simplificando:

Resposta

Então, a expressão de é:

Exercícios relacionados

Seja um subespaço de . Determine uma base para .
Mostre que não pode ser combinação linear de e .
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
\footnotetext{
Date: 2024.1.
1 t.q. tal que.
Questão 15
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
Seja , onde é o número imaginário. Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .