Se T: R^3 R^2 é uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(0,6), T(-1,0,1)=(-2,1) e T(1,-2,1)=(0,3)
Observem que os vetores (1,1,1),(-1,0,1),(1,-2,1) formam uma base (ortogonal) de R^3. Encontrar a expressão de T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. No problema, nos deram como age em três vetores que formam uma base ortogonal de . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que como é linear, se a gente souber como ela age em uma base, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer vetor. Aqui, a base é formada pelos vetores .

Passo 3

Vamos representar um vetor qualquer (x, y, z) = a(1,1,1) + b(-1,0,1) + c(1,-2,1) como uma combinação linear dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares x = a - b + c tais que:
y = a - 2c
Isso significa que:
z = a + b + c
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar em termos de .

Passo 4

Do segundo equação:
y = a - 2c implies a = y + 2c
Agora substituímos x = (y + 2c) - b + c = y + 3c - b na primeira e terceira equações:
z = (y + 2c) + b + c = y + b + 3c
x = y + 3c - b (1)
Agora, podemos escrever:
z = y + b + 3c (2)
z - x = 2b implies b = z - x2
Subtraindo (1) de (2):
x = y + 3c - z - x2
Agora, voltando para (1):
2x = 2y + 6c - (z - x)
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
2x = 2y + 6c - z + x
x = 2y + 6c - z
x - 2y + z = 6c implies c = x - 2y + z6
a = y + 2(x - 2y + z6) = y + x - 2y + z3 = 3y + x - 2y + z3 = x + y + z3
E já temos . Agora, substituindo em :

Passo 5

Agora que temos T(x, y, z) = a cdot T(1,1,1) + b cdot T(-1,0,1) + c cdot T(1,-2,1) em termos de T(x, y, z) = x + y + z3 cdot (0,6) + z - x2 cdot (-2,1) + x - 2y + z6 cdot (0,3) , podemos usar a linearidade da transformação :
Substituindo os valores dados:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
x + y + z3 cdot (0,6) = (0, 6(x + y + z)3) = (0, 2(x + y + z))
z - x2 cdot (-2,1) = (-2(z - x)2, 1(z - x)2) = (-(z - x), z - x2)
x - 2y + z6 cdot (0,3) = (0, 3(x - 2y + z)6) = (0, x - 2y + z2)
Agora, somamos tudo:
(0, 2(x + y + z)) + (-(z - x), z - x2) + (0, x - 2y + z2)
Simplificando as componentes:
  • Componente x:
0 - (z - x) + 0 = x - z
  • Componente y:
2(x + y + z) + z - x2 + x - 2y + z2
Vamos combinar as frações:
2(x + y + z) + z - x + x - 2y + z2 = 2(x + y + z) + 2z - 2y2 = 2(x + y + z) + (z - y)
Simplificando:
2x + 2y + 2z + z - y = 2x + y + 3z

Resposta

Então, a expressão de T(x, y, z) = (x - z, 2x + y + 3z) é:

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