Se
é uma transformação linear tal que
e
Observem que os vetores
formam uma base (ortogonal) de
. Encontrar a expressão de
.
Observem que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear
que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. No problema, nos deram como
age em três vetores que formam uma base ortogonal de
. Nosso objetivo é descobrir como
age em qualquer vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que como
é linear, se a gente souber como ela age em uma base, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer vetor. Aqui, a base é formada pelos vetores
.
Passo 3
Vamos representar um vetor qualquer
como uma combinação linear dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares
tais que:
Isso significa que:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar
em termos de
.
Passo 4
Do segundo equação:
Agora substituímos
na primeira e terceira equações:
Agora, podemos escrever:
Subtraindo (1) de (2):
Agora, voltando para (1):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
E já temos
. Agora, substituindo
em
:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, podemos usar a linearidade da transformação
:
Substituindo os valores dados:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Agora, somamos tudo:
Simplificando as componentes:
- Componente x:
- Componente y:
Vamos combinar as frações:
Simplificando:
Resposta
Então, a expressão de
é: