Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . Encontrar a expressão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões. No problema, nos deram como age em três vetores que formam uma base ortogonal de . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que como é linear, se a gente souber como ela age em uma base, a gente consegue descobrir como ela age em qualquer vetor. Aqui, a base é formada pelos vetores .
Passo 3
Vamos representar um vetor qualquer como uma combinação linear dessa base. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso significa que:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar em termos de .
Passo 4
Do segundo equação:
Agora substituímos na primeira e terceira equações:
Agora, podemos escrever:
Subtraindo (1) de (2):
Agora, voltando para (1):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
E já temos . Agora, substituindo em :
Passo 5
Agora que temos em termos de , podemos usar a linearidade da transformação :