Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema de equações lineares. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente do estudo de sistemas de equações e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e identificar as soluções livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações de linha para simplificar o sistema.

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples. Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, vamos simplificar a segunda e a terceira linha em relação à primeira linha.
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Observamos que a terceira linha já tem um 1 na posição (3,3), então podemos usar essa informação para eliminar o termo correspondente na segunda linha.
  • Adicione 2 vezes a terceira linha à segunda linha:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -1 para facilitar a leitura:

Passo 6

Com a matriz na forma reduzida, podemos escrever as equações correspondentes:
Agora, vamos expressar as variáveis em termos das livres. Observamos que e são variáveis livres porque não estão determinadas diretamente pelas equações.

Passo 7

Vamos resolver as equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:

Passo 8

Agora, podemos expressar as soluções em termos da variável livre :
Podemos escrever isso como:

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor:

Exercícios relacionados

Verifique se em cada um dos itens o conjunto , munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre .
(h) e , munido das operações usuais de .
Seja e dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que e são linearmente dependentes se e somente se um dos vetores é um múltiplo escalar do outro.
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.