Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
l 2 x-y+z+w=0 6 x-4 y+z+w=0 2 x-y+2 z+2 w=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema de equações lineares. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente do estudo de sistemas de equações e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e identificar as soluções livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações de linha para simplificar o sistema.
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 6 & -4 & 1 & 1 & | & 0 2 & -1 & 2 & 2 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples. Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, vamos simplificar a segunda e a terceira linha em relação à primeira linha.
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 3R1
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - R1
Após essas operações, a matriz fica assim:
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & -2 & -2 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais. Observamos que a terceira linha já tem um 1 na posição (3,3), então podemos usar essa informação para eliminar o termo correspondente na segunda linha.
  • Adicione 2 vezes a terceira linha à segunda linha:
    R2 = R2 + 2R3
A matriz fica:
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -1 para facilitar a leitura:
2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0

Passo 6

Com a matriz na forma reduzida, podemos escrever as equações correspondentes:
Agora, vamos expressar as variáveis em termos das livres. Observamos que e são variáveis livres porque não estão determinadas diretamente pelas equações.

Passo 7

Vamos resolver as equações:
Da segunda equação:
y = 0
Da terceira equação:
z = -w
Substituindo 2x - 0 + (-w) + w = 0 e 2x = 0 na primeira equação:
x = 0

Passo 8

Agora, podemos expressar as soluções em termos da variável livre x = 0 y = 0 z = -w w = w :
x y z w = w 0 0 -1 1
Podemos escrever isso como:

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor:
0 0 -1 1

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