Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema de equações lineares. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente do estudo de sistemas de equações e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e identificar as soluções livres.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações de linha para simplificar o sistema.
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples. Nosso objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, vamos simplificar a segunda e a terceira linha em relação à primeira linha.
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
Agora, vamos simplificar ainda mais. Observamos que a terceira linha já tem um 1 na posição (3,3), então podemos usar essa informação para eliminar o termo correspondente na segunda linha.
Adicione 2 vezes a terceira linha à segunda linha:
Com a matriz na forma reduzida, podemos escrever as equações correspondentes:
Agora, vamos expressar as variáveis em termos das livres. Observamos que e são variáveis livres porque não estão determinadas diretamente pelas equações.
Passo 7
Vamos resolver as equações:
Da segunda equação:
y = 0
Da terceira equação:
z = -w
Substituindo 2x - 0 + (-w) + w = 0 e 2x = 0 na primeira equação:
x = 0
Passo 8
Agora, podemos expressar as soluções em termos da variável livre x = 0 y = 0 z = -w w = w :