Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto que é formado por combinações lineares de funções trigonométricas: , , e . Queremos verificar se esse conjunto forma um espaço vetorial sobre os números reais e determinar sua dimensão, que, segundo o exercício, deveria ser igual a 2.
Passo 2
Vamos começar verificando se é um espaço vetorial. Para isso, precisamos confirmar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalares, além das demais propriedades vetoriais (existência do vetor zero, etc.). Contudo, é definido como todas as combinações lineares de certas funções, o que por definição já garante que é um espaço vetorial. Então, não precisamos verificar todas essas propriedades individualmente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Para encontrar uma base, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço .
Passo 4
Examinemos as funções que formam :
: Sabemos que . Isso significa que não adiciona nada de novo ao conjunto, pois já temos .
: Usando a fórmula de ângulo de subtração, temos .
Passo 5
Portanto, todas as funções em podem ser expressas em termos de e . Especificamente, é gerado apenas por e . Isso significa que qualquer elemento de pode ser escrito como:
onde .
Passo 6
Agora, precisamos verificar se e são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Para todo . A única solução para isso é e . Portanto, e são linearmente independentes.
Passo 7
Como e são linearmente independentes e geram todo o espaço , elas formam uma base para . Portanto, a dimensão de é o número de vetores nessa base, que é 2.
Resposta
O conjunto é um espaço vetorial sobre com dimensão 2.