Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
que é formado por combinações lineares de funções trigonométricas:
,
,
e
. Queremos verificar se esse conjunto
forma um espaço vetorial sobre os números reais
e determinar sua dimensão, que, segundo o exercício, deveria ser igual a 2.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é um espaço vetorial. Para isso, precisamos confirmar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalares, além das demais propriedades vetoriais (existência do vetor zero, etc.). Contudo,
é definido como todas as combinações lineares de certas funções, o que por definição já garante que
é um espaço vetorial. Então, não precisamos verificar todas essas propriedades individualmente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Para encontrar uma base, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço
.
Passo 4
Examinemos as funções que formam
:
-
: Sabemos que . Isso significa que não adiciona nada de novo ao conjunto, pois já temos . -
: Usando a fórmula de ângulo de subtração, temos .
Passo 5
Portanto, todas as funções em
podem ser expressas em termos de
e
. Especificamente,
é gerado apenas por
e
. Isso significa que qualquer elemento de
pode ser escrito como:
onde
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se
e
são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Para todo
. A única solução para isso é
e
. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 7
Como
e
são linearmente independentes e geram todo o espaço
, elas formam uma base para
. Portanto, a dimensão de
é o número de vetores nessa base, que é 2.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2.