Seja E=a1 cos (x)+a2 sin (x)+a3 sin (-x)+a4 cos (x-pi2) ; a1, a2, a3, a4 in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 2 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto E que é formado por combinações lineares de funções trigonométricas: cos(x), sin(x), sin(-x) e cos(x - pi2). Queremos verificar se esse conjunto E forma um espaço vetorial sobre os números reais R e determinar sua dimensão, que, segundo o exercício, deveria ser igual a 2.

Passo 2

Vamos começar verificando se E é um espaço vetorial. Para isso, precisamos confirmar se E satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechamento sob adição e multiplicação por escalares, além das demais propriedades vetoriais (existência do vetor zero, etc.). Contudo, E é definido como todas as combinações lineares de certas funções, o que por definição já garante que E é um espaço vetorial. Então, não precisamos verificar todas essas propriedades individualmente.

Passo 3

Agora, vamos determinar a dimensão de E. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Para encontrar uma base, precisamos identificar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço E.

Passo 4

Examinemos as funções que formam E:
  • sin(-x): Sabemos que sin(-x) = -sin(x). Isso significa que sin(-x) não adiciona nada de novo ao conjunto, pois já temos sin(x).
  • cos(x - pi2): Usando a fórmula de ângulo de subtração, temos cos(x - pi2) = cos(x)cos(pi2) + sin(x)sin(pi2) = 0 cdot cos(x) + 1 cdot sin(x) = sin(x).

Passo 5

Portanto, todas as funções em E podem ser expressas em termos de cos(x) e sin(x). Especificamente, E é gerado apenas por cos(x) e sin(x). Isso significa que qualquer elemento de E pode ser escrito como:
a1 cos(x) + a2 sin(x)
onde a1, a2 in R.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se cos(x) e sin(x) são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
b1 cos(x) + b2 sin(x) = 0
Para todo x. A única solução para isso é b1 = 0 e b2 = 0. Portanto, cos(x) e sin(x) são linearmente independentes.

Passo 7

Como cos(x) e sin(x) são linearmente independentes e geram todo o espaço E, elas formam uma base para E. Portanto, a dimensão de E é o número de vetores nessa base, que é 2.

Resposta

O conjunto E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 2.

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