Calcule uma base para o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar verificar quais matrizes em são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são linearmente independentes e que qualquer elemento do subespaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as matrizes no conjunto :
Nosso objetivo é ver quais dessas matrizes são necessárias para gerar todo o subespaço, sem redundâncias.

Passo 4

Vamos tratar cada matriz como um vetor em um espaço de dimensão 4 (já que cada matriz pode ser representada por um vetor com 4 componentes). Então, podemos reescrever as matrizes de como vetores:

Passo 5

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e reduzir para encontrar a posição das linhas independentes:
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar.

Passo 6

Subtraímos a primeira linha das linhas 2 e 3, e subtraímos 2 vezes a primeira linha da linha 4:

Passo 7

Agora, vamos simplificar as linhas abaixo. Dividimos a segunda linha por -2:
Em seguida, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira e 6 vezes à segunda linha à quarta:

Passo 8

Vemos que só temos duas linhas não-nulas, o que significa que apenas duas das matrizes originais são linearmente independentes. Portanto, precisamos escolher duas matrizes que correspondam às linhas pivôs da matriz reduzida, que são e .

Passo 9

Voltando às matrizes originais, isso significa que as primeiras duas matrizes em são suficientes para formar uma base:

Resposta

Uma base para o subespaço de gerado por é:

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Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
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Seja o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Calcule uma base para contendo o vetor .
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .