Calcule uma base para o subespaço do R^2 times 2 gerado pelo conjunto S abaixo.
S=(ll 1 & 4 5 & 8 ),(ll 1 & 2 3 & 4 ),(ll 1 & 0 1 & 0 ),(ll 2 & 2 4 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma base para o subespaço de gerado pelo conjunto . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para isso, vamos precisar verificar quais matrizes em são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são linearmente independentes e que qualquer elemento do subespaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as matrizes no conjunto S = 1 & 4 5 & 8 , 1 & 2 3 & 4 , 1 & 0 1 & 0 , 2 & 2 4 & 4 :
Nosso objetivo é ver quais dessas matrizes são necessárias para gerar todo o subespaço, sem redundâncias.

Passo 4

Vamos tratar cada matriz como um vetor em um espaço de dimensão 4 (já que cada matriz v1 = (1, 4, 5, 8), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (1, 0, 1, 0), v4 = (2, 2, 4, 4) pode ser representada por um vetor com 4 componentes). Então, podemos reescrever as matrizes de como vetores:

Passo 5

Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e reduzir para encontrar a posição das linhas independentes:
1 & 4 & 5 & 8 1 & 2 & 3 & 4 1 & 0 & 1 & 0 2 & 2 & 4 & 4
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar.

Passo 6

Subtraímos a primeira linha das linhas 2 e 3, e subtraímos 2 vezes a primeira linha da linha 4:
1 & 4 & 5 & 8 0 & -2 & -2 & -4 0 & -4 & -4 & -8 0 & -6 & -6 & -12

Passo 7

Agora, vamos simplificar as linhas abaixo. Dividimos a segunda linha por -2:
1 & 4 & 5 & 8 0 & 1 & 1 & 2 0 & -4 & -4 & -8 0 & -6 & -6 & -12
Em seguida, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira e 6 vezes à segunda linha à quarta:
1 & 4 & 5 & 8 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Vemos que só temos duas linhas não-nulas, o que significa que apenas duas das matrizes originais são linearmente independentes. Portanto, precisamos escolher duas matrizes que correspondam às linhas pivôs da matriz reduzida, que são e .

Passo 9

Voltando às matrizes originais, isso significa que as primeiras duas matrizes em 1 & 4 5 & 8 , 1 & 2 3 & 4 são suficientes para formar uma base:

Resposta

Uma base para o subespaço de 1 & 4 5 & 8 , 1 & 2 3 & 4 gerado por é:

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