Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
(h) V=(x, y, z, w) in R^4 ; y=x e z=w^2, munido das operações usuais de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto , com as operações normais de , é um espaço vetorial sobre os números reais ( ). Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e conferir se os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer alguns critérios básicos, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outros. Vamos verificar esses pontos um por um.

Passo 3

1. Presença do vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
A soma desses vetores é:
Para que esteja em , precisamos que:
  • ✔️
Vamos verificar a última igualdade:
Comparando com , vemos que faltou o termo . Logo, a menos que , o que não é garantido para todos os e .
Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que não é fechado sob adição, vamos conferir esse ponto também para completar.
Pegamos um vetor qualquer em :
Multiplicando por um escalar :
Para que esteja em , precisamos que:
  • ✔️
Comparando com , vemos que isso só é válido para ou . Para outros valores de e , a igualdade não se sustenta.
Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial sobre porque não satisfaz os critérios de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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