Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
(h)
e
, munido das operações usuais de
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto
, com as operações normais de
, é um espaço vetorial sobre os números reais (
). Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e conferir se
os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um espaço vetorial, ele precisa satisfazer alguns critérios básicos, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, entre outros. Vamos verificar esses pontos um por um.
Passo 3
1. Presença do vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
-
→ ✔️ -
→ ✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
A soma desses vetores é:
Para que
esteja em
, precisamos que:
-
→ ✔️ -
→
Vamos verificar a última igualdade:
Comparando com
, vemos que faltou o termo
. Logo,
a menos que
, o que não é garantido para todos os
e
.
Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos identificado que
não é fechado sob adição, vamos conferir esse ponto também para completar.
Pegamos um vetor qualquer em
:
Multiplicando por um escalar
:
Para que
esteja em
, precisamos que:
-
→ ✔️ -
→
Comparando
com
, vemos que isso só é válido para
ou
. Para outros valores de
e
, a igualdade não se sustenta.
Então,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial sobre
porque não satisfaz os critérios de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.