Seja e dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que e são linearmente dependentes se e somente se um dos vetores é um múltiplo escalar do outro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , em um espaço vetorial . A questão quer que a gente mostre que esses vetores são linearmente dependentes se e somente se um deles for um múltiplo escalar do outro. Vamos usar conceitos de dependência linear e múltiplos escalares para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa linearmente dependentes. Dois vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial deles que resulta no vetor zero. Isso quer dizer que existem escalares, não ambos zero, tal que:
onde pelo menos um dos ou é diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos mostrar a primeira parte: se e são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro. Suponha que:
e que pelo menos um dos ou não é zero. Sem perda de generalidade, suponha que . Podemos resolver para :
Isso mostra que é um múltiplo escalar de .

Passo 4

Agora, vamos mostrar a segunda parte: se um vetor é múltiplo escalar do outro, então eles são linearmente dependentes. Suponha que:
onde é um escalar. Podemos escrever:
Isso é uma combinação linear não trivial (pois não é zero) que resulta no vetor zero, o que significa que e são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, mostramos que e são linearmente dependentes se e somente se um deles é um múltiplo escalar do outro.

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