Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz, e a gente precisa encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso envolve álgebra linear, especificamente conceitos como espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de sistemas, como a eliminação de Gauss, e depois identificar os vetores que formam a base das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a matriz representa:
Perceba que a terceira equação é simplificada para , o que na verdade não nos dá nenhuma informação adicional.

Passo 3

Vamos focar nas duas primeiras equações para resolver o sistema:
Nos sistemas lineares, nosso objetivo é expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar as soluções livres.

Passo 4

Podemos simplificar o sistema dividindo a primeira equação por 3:
E a segunda equação dividindo por 1 (permanece igual):
Agora, vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 5

Substituímos na segunda equação:
Com , voltamos para a expressão de :

Passo 6

Agora, podemos expressar as soluções em termos de uma variável livre, que é . Assim, temos:
Onde é um parâmetro real.

Passo 7

Escrevemos o vetor solução em função de :

$$

t
$$
Isso significa que todas as soluções do sistema são múltiplos do vetor .

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor .

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Considere as retas e . Determine de modo que e sejam:
paralelas
Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
e
Dada a função , tal que :
determine as coordenadas do ponto onde seu gráfico corta o eixo ;
Uma função é tal que e . Determine .