Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz, e a gente precisa encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso envolve álgebra linear, especificamente conceitos como espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de sistemas, como a eliminação de Gauss, e depois identificar os vetores que formam a base das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a matriz representa:
Perceba que a terceira equação é simplificada para , o que na verdade não nos dá nenhuma informação adicional.
Passo 3
Vamos focar nas duas primeiras equações para resolver o sistema:
Nos sistemas lineares, nosso objetivo é expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar as soluções livres.
Passo 4
Podemos simplificar o sistema dividindo a primeira equação por 3:
E a segunda equação dividindo por 1 (permanece igual):
Agora, vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Passo 5
Substituímos na segunda equação:
Com , voltamos para a expressão de :
Passo 6
Agora, podemos expressar as soluções em termos de uma variável livre, que é . Assim, temos:
Onde é um parâmetro real.
Passo 7
Escrevemos o vetor solução em função de :
$$
t
$$
Isso significa que todas as soluções do sistema são múltiplos do vetor .