Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.
(lll 6 & 3 & 3 4 & 2 & 3 0 & 0 & 0 )(l x y z )=(l 0 0 0 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz, e a gente precisa encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso envolve álgebra linear, especificamente conceitos como espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de sistemas, como a eliminação de Gauss, e depois identificar os vetores que formam a base das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a matriz representa:
6x + 3y + 3z = 0 4x + 2y + 3z = 0 0x + 0y + 0z = 0
Perceba que a terceira equação é simplificada para , o que na verdade não nos dá nenhuma informação adicional.

Passo 3

Vamos focar nas duas primeiras equações para resolver o sistema:
6x + 3y + 3z = 0 4x + 2y + 3z = 0
Nos sistemas lineares, nosso objetivo é expressar algumas variáveis em termos das outras para encontrar as soluções livres.

Passo 4

Podemos simplificar o sistema dividindo a primeira equação por 3:
2x + y + z = 0
E a segunda equação dividindo por 1 (permanece igual):
4x + 2y + 3z = 0
Agora, vamos resolver a primeira equação para uma das variáveis, por exemplo, y = -2x - z :

Passo 5

Substituímos 4x + 2(-2x - z) + 3z = 0 4x - 4x - 2z + 3z = 0 z = 0 na segunda equação:
y = -2x
Com , voltamos para a expressão de :

Passo 6

Agora, podemos expressar as soluções em termos de uma variável livre, que é x = t y = -2t z = 0 . Assim, temos:
Onde é um parâmetro real.

Passo 7

Escrevemos o vetor solução em função de x y z = t 1 -2 0 :

$$
1 -2 0

t
$$
Isso significa que todas as soluções do sistema são múltiplos do vetor .

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor 1 -2 0 .

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