Considere as retas r: k x-(k+2) y=2 e s: k y-x=3 k. Determine k de modo que r e s sejam:
paralelas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas:
  • Reta :
  • Reta :
Queremos descobrir o valor de para que essas retas sejam paralelas. Para isso, vamos lembrar que duas retas são paralelas se suas inclinações (ou coeficientes angulares) forem iguais. Então, vamos precisar encontrar o coeficiente angular de cada reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as equações das retas na forma de kx - (k + 2)y = 2 , onde -(k + 2)y = -kx + 2 é o coeficiente angular.
Para a reta y = kk + 2x - 2k + 2 :
Começamos com:
mr = kk + 2
Vamos isolar o :
Então, o coeficiente angular da reta é:

Passo 3

Para a reta ky - x = 3k :
Começamos com:
ky = x + 3k
Vamos isolar o y = 1kx + 3 :
ms = 1k
Então, o coeficiente angular da reta é:

Passo 4

Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas, queremos que elas sejam paralelas. Ou seja:
mr = ms
kk + 2 = 1k
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por k cdot k = 1 cdot (k + 2) para eliminar os denominadores:
k^2 = k + 2
k^2 - k - 2 = 0
Agora, trazemos todos os termos para um lado da equação:

Passo 6

Temos uma equação quadrática:
k^2 - k - 2 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
k = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, k = 1 pm raiz92 , e k = 1 pm 32 .
Calculando o discriminante ( ):
Agora, substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que fazem as retas e serem paralelas são e .

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