Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz, e precisamos encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde podemos identificar facilmente as variáveis livres e as variáveis pivot (as que podemos resolver diretamente). Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.
Passo 4
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para isso, subtraímos 6 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, temos a matriz na forma escalonada reduzida, onde podemos ler as equações correspondentes:
A última linha não dá nenhuma informação, pois é .
Passo 8
Vamos resolver essas equações a partir da terceira:
Da terceira equação:
Substituindo z na segunda equação:
Agora, substituindo y e z na primeira equação:
Passo 9
Todas as variáveis estão expressas em termos de x = w y = -2w z = -dfrac13w w = w , que é uma variável livre. Podemos então escrever a solução geral como: