Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz, e precisamos encontrar uma base para o conjunto das soluções desse sistema. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, onde trabalhamos com sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma escalonada, onde podemos identificar facilmente as variáveis livres e as variáveis pivot (as que podemos resolver diretamente). Para isso, vamos usar operações elementares nas linhas.

Passo 4

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para isso, subtraímos 6 vezes a primeira linha da segunda linha e 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Linha 2 = Linha 2 - 6 × Linha 1
  • Linha 3 = Linha 3 - 4 × Linha 1
Calculando:
Linha 2: , , ,
Linha 3: , , ,
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -3:
Linha 2 = Linha 2 / (-3)
Isso nos dá:
Linha 2:
A matriz agora é:

Passo 6

Em seguida, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Para isso, adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 × Linha 2
Calculando:
Linha 3: , , ,
A matriz fica:

Passo 7

Agora, temos a matriz na forma escalonada reduzida, onde podemos ler as equações correspondentes:
A última linha não dá nenhuma informação, pois é .

Passo 8

Vamos resolver essas equações a partir da terceira:
Da terceira equação:
Substituindo z na segunda equação:
Agora, substituindo y e z na primeira equação:

Passo 9

Todas as variáveis estão expressas em termos de , que é uma variável livre. Podemos então escrever a solução geral como:
Isso pode ser representado como:

Resposta

Uma base para o conjunto das soluções é o vetor:

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Determine se os seguintes vetores do são lineramente dependentes ou não: e
Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .
Os vetores , formam uma base para o ? Justifique.