Seja T: R^2 times 2 R^2 times 2 dada por
T((ll a & b c & d ))=(cc 2(a-b)+c & 0 a-b & a+c-b )
Verifique que T é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação dada é uma transformação linear e descobrir a dimensão da imagem dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como encontrar a dimensão da imagem de uma transformação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
onde e são matrizes em e é um número real.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a da adição. Seja a & b c & d e e & f g & h . Então:
T(A + B) = T( a+e & b+f c+g & d+h ) = 2((a+e)-(b+f)) + (c+g) & 0 (a+e)-(b+f) & (a+e)+(c+g)-(b+f)
Simplificando:
= 2(a - b) + 2(e - f) + c + g & 0 (a - b) + (e - f) & (a + c - b) + (e + g - f)
Agora, somando T(A) + T(B) = 2(a - b) + c & 0 (a - b) & a + c - b + 2(e - f) + g & 0 (e - f) & e + g - f = 2(a - b) + c + 2(e - f) + g & 0 (a - b) + (e - f) & (a + c - b) + (e + g - f) e :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar. Seja a & b c & d um número real e T(kA) = T( ka & kb kc & kd ) = 2(ka - kb) + kc & 0 ka - kb & ka + kc - kb = k(2(a - b) + c) & 0 k(a - b) & k(a + c - b) = k 2(a - b) + c & 0 a - b & a + c - b = kT(A) . Então:
Então, , e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Como satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de a & b c & d . A imagem de T(A) = 2(a - b) + c & 0 a - b & a + c - b é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando T(A) = (2(a - b) + c) 1 & 0 0 & 0 + (a - b) 0 & 0 1 & 0 + (a + c - b) 0 & 0 0 & 1 a qualquer matriz em 0 0 .
Vamos expressar T(A) = 2x + y & 0 x & x + y de forma mais simples. Dada uma matriz = x 2 & 0 1 & 1 + y 1 & 0 0 & 1 , temos:
Podemos reescrever isso como:
Mas observando a estrutura da matriz, percebemos que a segunda coluna sempre será . Então, a imagem de está contida em um subespaço de matrizes onde a segunda coluna é zero.
Podemos identificar duas variáveis independentes: e . Assim, cada imagem pode ser escrita como:
Podemos pensar nisso como uma combinação linear de duas matrizes:
Como temos duas matrizes lineares independentes gerando a imagem, a dimensão da imagem de é 2.

Resposta

A transformação é linear e a dimensão da imagem de é 2.

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