Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação dada é uma transformação linear e descobrir a dimensão da imagem dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como encontrar a dimensão da imagem de uma transformação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
Adição:
Multiplicação por escalar:
onde e são matrizes em e é um número real.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a da adição. Seja e . Então:
Simplificando:
Agora, somando e :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar. Seja um número real e . Então:
Então, , e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Como satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de . A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a qualquer matriz em .
Vamos expressar de forma mais simples. Dada uma matriz , temos:
Podemos reescrever isso como:
Mas observando a estrutura da matriz, percebemos que a segunda coluna sempre será . Então, a imagem de está contida em um subespaço de matrizes onde a segunda coluna é zero.
Podemos identificar duas variáveis independentes: e . Assim, cada imagem pode ser escrita como:
Podemos pensar nisso como uma combinação linear de duas matrizes:
Como temos duas matrizes lineares independentes gerando a imagem, a dimensão da imagem de é 2.
Resposta
A transformação é linear e a dimensão da imagem de é 2.