Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação dada é uma transformação linear e descobrir a dimensão da imagem dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como encontrar a dimensão da imagem de uma transformação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
onde e são matrizes em e é um número real.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a da adição. Seja e . Então:
Simplificando:
Agora, somando e :
Vemos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar. Seja um número real e . Então:
Então, , e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Passo 5

Como satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de . A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando a qualquer matriz em .
Vamos expressar de forma mais simples. Dada uma matriz , temos:
Podemos reescrever isso como:
Mas observando a estrutura da matriz, percebemos que a segunda coluna sempre será . Então, a imagem de está contida em um subespaço de matrizes onde a segunda coluna é zero.
Podemos identificar duas variáveis independentes: e . Assim, cada imagem pode ser escrita como:
Podemos pensar nisso como uma combinação linear de duas matrizes:
Como temos duas matrizes lineares independentes gerando a imagem, a dimensão da imagem de é 2.

Resposta

A transformação é linear e a dimensão da imagem de é 2.

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