Seja
dada por
Verifique que
é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação
dada é uma transformação linear e descobrir a dimensão da imagem dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como encontrar a dimensão da imagem de uma transformação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
onde
e
são matrizes em
e
é um número real.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a da adição. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Agora, somando
e
:
Vemos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a da multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Então:
Então,
, e a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Passo 5
Como
satisfaz as duas propriedades de linearidade (adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de
. A imagem de
é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas aplicando
a qualquer matriz em
.
Vamos expressar
de forma mais simples. Dada uma matriz
, temos:
Podemos reescrever isso como:
Mas observando a estrutura da matriz, percebemos que a segunda coluna sempre será
. Então, a imagem de
está contida em um subespaço de matrizes onde a segunda coluna é zero.
Podemos identificar duas variáveis independentes:
e
. Assim, cada imagem pode ser escrita como:
Podemos pensar nisso como uma combinação linear de duas matrizes:
Como temos duas matrizes lineares independentes gerando a imagem, a dimensão da imagem de
é 2.
Resposta
A transformação
é linear e a dimensão da imagem de
é 2.