Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que: Se A e B sâo inversiveis, entāo A^-1 e B^-1 são semelhantes.

Passo 1

Beleza, temos duas matrizes, e , que são semelhantes. O que a questão quer é que, se essas matrizes são inversíveis (ou seja, têm inversas), então as inversas e também são semelhantes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes semelhantes e propriedades de matrizes inversas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas matrizes serem semelhantes. Duas matrizes B = P^-1AP e são semelhantes se existe uma matriz invertível tal que:
Isso basicamente significa que é uma transformação de através da matriz .

Passo 3

Agora, como queremos mostrar que B = P^-1AP e B^-1 = (P^-1AP)^-1 são semelhantes, vamos tentar expressar em termos de . Sabemos que:
Para encontrar a inversa de , aplicamos a inversa nessa igualdade:

Passo 4

Vamos lembrar que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas em ordem invertida. Então:
(P^-1AP)^-1 = P^-1A^-1P
Portanto:
B^-1 = P^-1A^-1P
Isso mostra que B^-1 = P^-1A^-1P é semelhante a , já que existe a matriz invertível tal que:

Resposta

Assim, provamos que se e são matrizes semelhantes e inversíveis, então suas inversas e também são semelhantes.

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