Sejam
e
matrizes semelhantes. Prove que: Se
e
sâo inversiveis, entāo
e
são semelhantes.
Passo 1
Beleza, temos duas matrizes,
e
, que são semelhantes. O que a questão quer é que, se essas matrizes são inversíveis (ou seja, têm inversas), então as inversas
e
também são semelhantes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes semelhantes e propriedades de matrizes inversas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas matrizes serem semelhantes. Duas matrizes
e
são semelhantes se existe uma matriz invertível
tal que:
Isso basicamente significa que
é uma transformação de
através da matriz
.
Passo 3
Agora, como queremos mostrar que
e
são semelhantes, vamos tentar expressar
em termos de
. Sabemos que:
Para encontrar a inversa de
, aplicamos a inversa nessa igualdade:
Passo 4
Vamos lembrar que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas em ordem invertida. Então:
Portanto:
Isso mostra que
é semelhante a
, já que existe a matriz invertível
tal que:
Resposta
Assim, provamos que se
e
são matrizes semelhantes e inversíveis, então suas inversas
e
também são semelhantes.