Sejam e matrizes semelhantes. Prove que: Se e sâo inversiveis, entāo e são semelhantes.
Passo 1
Beleza, temos duas matrizes, e , que são semelhantes. O que a questão quer é que, se essas matrizes são inversíveis (ou seja, têm inversas), então as inversas e também são semelhantes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes semelhantes e propriedades de matrizes inversas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas matrizes serem semelhantes. Duas matrizes e são semelhantes se existe uma matriz invertível tal que:
Isso basicamente significa que é uma transformação de através da matriz .
Passo 3
Agora, como queremos mostrar que e são semelhantes, vamos tentar expressar em termos de . Sabemos que:
Para encontrar a inversa de , aplicamos a inversa nessa igualdade:
Passo 4
Vamos lembrar que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas em ordem invertida. Então:
Portanto:
Isso mostra que é semelhante a , já que existe a matriz invertível tal que:
Resposta
Assim, provamos que se e são matrizes semelhantes e inversíveis, então suas inversas e também são semelhantes.