Os vetores , formam uma base para o ? Justifique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é dois vetores: e . A questão é saber se esses dois vetores formam uma base para o . Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre independência linear e determinantes, que são ferramentas da Álgebra Linear usadas para verificar se os vetores são suficientes para “gerar” todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, para que dois vetores formem uma base no , eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores dados:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 é dado por:

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do determinante:

Passo 5

O determinante calculado foi 5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, eles formam uma base para o .

Resposta

Sim, os vetores e formam uma base para o porque o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

Exercícios relacionados

Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .
Ache uma base para o conjunto das soluções do sistema de equações lineares reais abaixo.
Seja a transformação linear dada por .
Obtenha , considerando as bases ordenadas de e de .
Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que e são subespaços vetoriais.