Os vetores [r5 -2], [c10 -3] formam uma base para o R^2 ? Justifique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é dois vetores: 5 -2 e 10 -3. A questão é saber se esses dois vetores formam uma base para o R^2. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre independência linear e determinantes, que são ferramentas da Álgebra Linear usadas para verificar se os vetores são suficientes para “gerar” todo o espaço R^2.

Passo 2

Primeiro, para que dois vetores formem uma base no R^2, eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Uma forma prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores dados:
A = 5 & 10 -2 & -3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é dado por:
det(A) = ad - bc

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do determinante:
det(A) = (5)(-3) - (10)(-2) = -15 - (-20) = -15 + 20 = 5

Passo 5

O determinante calculado foi 5, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, eles formam uma base para o R^2.

Resposta

Sim, os vetores 5 -2 e 10 -3 formam uma base para o R^2 porque o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

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