Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear em e precisamos encontrar uma base para tal que a matriz da transformação nessa base em relação à base padrão seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes representam transformações lineares em diferentes bases e como construir a base que satisfaz essa condição.
Passo 2
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para o espaço de partida e chegada. A matriz representa a transformação onde é a base do espaço de entrada (domínio) e é a base do espaço de saída (contradomínio), que aqui assumimos ser a base padrão de .
Passo 3
Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base sob a transformação . Ou seja, se , então:
Passo 4
Para encontrar a base , precisamos encontrar os vetores e que, quando transformados por , resultam nos vetores das colunas da matriz dada. Como está representado nessa base, podemos usar as colunas como imagens diretas desses vetores base.
Passo 5
Então, definimos tal que:
Assumindo que é invertível para esses vetores, podemos determinar e com base nessa relação.