Ache uma base de tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear em e precisamos encontrar uma base para tal que a matriz da transformação nessa base em relação à base padrão seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes representam transformações lineares em diferentes bases e como construir a base que satisfaz essa condição.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases para o espaço de partida e chegada. A matriz representa a transformação onde é a base do espaço de entrada (domínio) e é a base do espaço de saída (contradomínio), que aqui assumimos ser a base padrão de .

Passo 3

Cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores da base sob a transformação . Ou seja, se , então:

Passo 4

Para encontrar a base , precisamos encontrar os vetores e que, quando transformados por , resultam nos vetores das colunas da matriz dada. Como está representado nessa base, podemos usar as colunas como imagens diretas desses vetores base.

Passo 5

Então, definimos tal que:
Assumindo que é invertível para esses vetores, podemos determinar e com base nessa relação.

Resposta

A base de que satisfaz é:

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Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
© .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) e .