Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P2 ? Justifique.
(b) W=p(t) in P2 mid p(0)=2 p(1).

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . Estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três condições: se o vetor zero está em , se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio .

Passo 3

Vamos calcular p(0) = 0 e p(1) = 0 e p(0) = 2 p(1) implies 0 = 2 times 0 implies 0 = 0 para o polinômio zero:
Então,
Isso satisfaz a condição, então o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se p(0) = 2 p(1) e q(0) = 2 q(1) é fechado para adição. Suponha que temos dois polinômios e em . Isso significa que:
Precisamos mostrar que também está em .

Passo 5

Calculando (p + q)(0) = p(0) + q(0) = 2 p(1) + 2 q(1) = 2 (p(1) + q(1)) = 2 (p + q)(1) e :
Portanto, satisfaz , provando que é fechado para adição.

Passo 6

Por último, vamos verificar se p(0) = 2 p(1) é fechado para multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e , então:
Queremos mostrar que também está em .

Passo 7

Calculando (c p)(0) = c p(0) = c times 2 p(1) = 2 (c p(1)) = 2 (c p)(1) e :
Assim, satisfaz , mostrando que é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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