Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . Estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três condições: se o vetor zero está em , se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio .

Passo 3

Vamos calcular e para o polinômio zero:
Então,
Isso satisfaz a condição, então o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado para adição. Suponha que temos dois polinômios e em . Isso significa que:
Precisamos mostrar que também está em .

Passo 5

Calculando e :
Portanto, satisfaz , provando que é fechado para adição.

Passo 6

Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e , então:
Queremos mostrar que também está em .

Passo 7

Calculando e :
Assim, satisfaz , mostrando que é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
© .
Dadas as matrizes e :
mostrar que , com e .
Ache uma base de tal que .