Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .
Passo 1
Vamos analisar o conjunto . Estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2, ou seja, . Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três condições: se o vetor zero está em , se é fechado para adição e se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é o polinômio .
Passo 3
Vamos calcular e para o polinômio zero:
Então,
Isso satisfaz a condição, então o vetor zero está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar se é fechado para adição. Suponha que temos dois polinômios e em . Isso significa que:
Precisamos mostrar que também está em .
Passo 5
Calculando e :
Portanto, satisfaz , provando que é fechado para adição.
Passo 6
Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e , então:
Queremos mostrar que também está em .
Passo 7
Calculando e :
Assim, satisfaz , mostrando que é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .