Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o conjunto
. Estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2, ou seja,
. Para verificar se
é um subespaço vetorial, precisamos checar três condições: se o vetor zero está em
, se
é fechado para adição e se
é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
.
Passo 3
Vamos calcular
e
para o polinômio zero:
Então,
Isso satisfaz a condição, então o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Suponha que temos dois polinômios
e
em
. Isso significa que:
Precisamos mostrar que
também está em
.
Passo 5
Calculando
e
:
Portanto,
satisfaz
, provando que
é fechado para adição.
Passo 6
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
, então:
Queremos mostrar que
também está em
.
Passo 7
Calculando
e
:
Assim,
satisfaz
, mostrando que
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado para adição e é fechado para multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.