Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) e .

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . O conteúdo que precisamos usar aqui é o conceito de subespaço vetorial. Para verificar se é um subespaço de , precisamos confirmar três coisas: se o zero vetor está em , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o zero vetor está em . O zero vetor em é . Substituindo na equação :
E também é satisfeito. Então, o zero vetor está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Como e , temos . Além disso:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Como , temos . E:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Ache uma base de tal que .
Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a) e , as operações usuais de .