Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o conjunto
. O conteúdo que precisamos usar aqui é o conceito de subespaço vetorial. Para verificar se
é um subespaço de
, precisamos confirmar três coisas: se o zero vetor está em
, se
é fechado sob adição e se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o zero vetor está em
. O zero vetor em
é
. Substituindo na equação
:
E
também é satisfeito. Então, o zero vetor está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
, temos
. Além disso:
Portanto,
também satisfaz as condições de
.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Como
, temos
. E:
Portanto,
também satisfaz as condições de
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.