Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) e .
Passo 1
Vamos analisar o conjunto . O conteúdo que precisamos usar aqui é o conceito de subespaço vetorial. Para verificar se é um subespaço de , precisamos confirmar três coisas: se o zero vetor está em , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o zero vetor está em . O zero vetor em é . Substituindo na equação :
E também é satisfeito. Então, o zero vetor está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Como e , temos . Além disso:
Portanto, também satisfaz as condições de .
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Como , temos . E:
Portanto, também satisfaz as condições de .
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .