Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^4 ? Justifique.
(b) W=(x, y, z, t) in R^4 mid 2 x+y-t=0 e z=0.

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . O conteúdo que precisamos usar aqui é o conceito de subespaço vetorial. Para verificar se é um subespaço de , precisamos confirmar três coisas: se o zero vetor está em , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o zero vetor está em 2(0) + 0 - 0 = 0 . O zero vetor em é . Substituindo na equação :
E também é satisfeito. Então, o zero vetor está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se 2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (t1 + t2) = (2x1 + y1 - t1) + (2x2 + y2 - t2) = 0 + 0 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Como e , temos . Além disso:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se 2(cx) + (cy) - (ct) = c(2x + y - t) = c cdot 0 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Como , temos . E:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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