Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta quais conjuntos são subespaços vetoriais de
. Especificamente, estamos analisando o conjunto
. Nosso objetivo é verificar se
satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para que
seja um subespaço de
, ele deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero pertence a
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: contém o vetor zero. A matriz zero em
é aquela em que todos os elementos são zero. Como a transposta da matriz zero é ela mesma (
), a matriz zero pertence a
. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição. Suponha que
e
são matrizes em
. Isso significa que
e
. Vamos somar essas duas matrizes:
A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas:
Como
, a matriz
também é simétrica e, portanto, pertence a
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar. Seja
uma matriz em
e
um escalar qualquer. Queremos mostrar que
também está em
.
Calculamos a transposta de
:
Como
, a matriz
também é simétrica e, portanto, pertence a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.