Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
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Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quais conjuntos são subespaços vetoriais de . Especificamente, estamos analisando o conjunto . Nosso objetivo é verificar se satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para que seja um subespaço de , ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero pertence a .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: contém o vetor zero. A matriz zero em é aquela em que todos os elementos são zero. Como a transposta da matriz zero é ela mesma ( ), a matriz zero pertence a . Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição. Suponha que e são matrizes em . Isso significa que e . Vamos somar essas duas matrizes:
A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas:
Como , a matriz também é simétrica e, portanto, pertence a . Assim, é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar. Seja uma matriz em e um escalar qualquer. Queremos mostrar que também está em .
Calculamos a transposta de :
Como , a matriz também é simétrica e, portanto, pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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Dadas as matrizes e :
mostrar que , com e .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(a) e .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .
Ache uma base de tal que .