Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M(2,2) ? Justifique.
© W=A in M(2,2) mid A=A^T.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta quais conjuntos são subespaços vetoriais de M(2,2). Especificamente, estamos analisando o conjunto W = A in M(2,2) mid A = A^T . Nosso objetivo é verificar se W satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para que W seja um subespaço de M(2,2), ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero pertence a W.
  2. Fechado sob adição: Se A e B estão em W, então A + B também está em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se A está em W e c é um escalar, então cA também está em W.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: contém o vetor zero. A matriz zero em M(2,2) é aquela em que todos os elementos são zero. Como a transposta da matriz zero é ela mesma ( 0^T = 0), a matriz zero pertence a W. Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição. Suponha que A e B são matrizes em W. Isso significa que A = A^T e B = B^T. Vamos somar essas duas matrizes:
A + B
A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas:
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B
Como (A + B)^T = A + B, a matriz A + B também é simétrica e, portanto, pertence a W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 5

Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar. Seja A uma matriz em W e c um escalar qualquer. Queremos mostrar que cA também está em W.
Calculamos a transposta de cA:
(cA)^T = cA^T = cA
Como (cA)^T = cA, a matriz cA também é simétrica e, portanto, pertence a W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W = A in M(2,2) mid A = A^T é um subespaço vetorial de M(2,2).

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