Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as bases dos auto-espaços para cada autovalor da matriz dada. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente aos conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores da matriz e, para cada um deles, encontrar os vetores que satisfazem a equação , onde é a matriz, é o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz:
Os autovalores são 1, -1, 3 e 2.

Passo 3

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores que satisfazem . Isso significa que vamos subtrair da diagonal principal da matriz e resolver o sistema de equações resultante.
Autovalor :
Subtraindo 1 da diagonal:
Resolvendo , encontramos que o único vetor solução é o vetor nulo. Portanto, a base do autoespaço associado a é trivial.
Autovalor :
Subtraindo -1 da diagonal:
Resolvendo , também obtemos apenas o vetor nulo. Então, a base do autoespaço para é trivial.
Autovalor :
Subtraindo 3 da diagonal:
Resolvendo , encontramos que os vetores que satisfazem essa equação formam uma base com um único vetor não nulo. Portanto, a base do autoespaço para é , onde é esse vetor específico.
Autovalor :
Subtraindo 2 da diagonal:
Resolvendo , identificamos que os vetores solução formam uma base com um único vetor não nulo. Assim, a base do autoespaço para é , onde é esse vetor específico.

Resposta

As bases dos auto-espaços são:
  • Para : apenas o vetor nulo (base trivial).
  • Para : apenas o vetor nulo (base trivial).
  • Para : um vetor não nulo específico.
  • Para : um vetor não nulo específico.

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