Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as bases dos auto-espaços para cada autovalor da matriz dada. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente aos conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores da matriz e, para cada um deles, encontrar os vetores que satisfazem a equação (A - lambda I)v = 0, onde A é a matriz, lambda é o autovalor e I é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz:
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores que satisfazem (A - lambda I)v = 0. Isso significa que vamos subtrair lambda da diagonal principal da matriz A e resolver o sistema de equações resultante.
Resolvendo (A - 3I)v = 0, encontramos que os vetores que satisfazem essa equação formam uma base com um único vetor não nulo. Portanto, a base do autoespaço para lambda = 3 é v, onde v é esse vetor específico.
Resolvendo (A - 2I)v = 0, identificamos que os vetores solução formam uma base com um único vetor não nulo. Assim, a base do autoespaço para lambda = 2 é v', onde v' é esse vetor específico.
Resposta
As bases dos auto-espaços são:
Para lambda = 1: apenas o vetor nulo (base trivial).
Para lambda = -1: apenas o vetor nulo (base trivial).