Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor
© [rrrr1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as bases dos auto-espaços para cada autovalor da matriz dada. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente aos conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores da matriz e, para cada um deles, encontrar os vetores que satisfazem a equação (A - lambda I)v = 0, onde A é a matriz, lambda é o autovalor e I é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz:
1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 2
Os autovalores são 1, -1, 3 e 2.

Passo 3

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os vetores que satisfazem (A - lambda I)v = 0. Isso significa que vamos subtrair lambda da diagonal principal da matriz A e resolver o sistema de equações resultante.
Autovalor lambda = 1:
Subtraindo 1 da diagonal:
A - I = 0 & 2 & 3 & 4 0 & -2 & 3 & 2 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 1
Resolvendo (A - I)v = 0, encontramos que o único vetor solução é o vetor nulo. Portanto, a base do autoespaço associado a lambda = 1 é trivial.
Autovalor lambda = -1:
Subtraindo -1 da diagonal:
A + I = 2 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 4 & 3 0 & 0 & 0 & 3
Resolvendo (A + I)v = 0, também obtemos apenas o vetor nulo. Então, a base do autoespaço para lambda = -1 é trivial.
Autovalor lambda = 3:
Subtraindo 3 da diagonal:
A - 3I = -2 & 2 & 3 & 4 0 & -4 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & -1
Resolvendo (A - 3I)v = 0, encontramos que os vetores que satisfazem essa equação formam uma base com um único vetor não nulo. Portanto, a base do autoespaço para lambda = 3 é v, onde v é esse vetor específico.
Autovalor lambda = 2:
Subtraindo 2 da diagonal:
A - 2I = -1 & 2 & 3 & 4 0 & -3 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0
Resolvendo (A - 2I)v = 0, identificamos que os vetores solução formam uma base com um único vetor não nulo. Assim, a base do autoespaço para lambda = 2 é v', onde v' é esse vetor específico.

Resposta

As bases dos auto-espaços são:
  • Para lambda = 1: apenas o vetor nulo (base trivial).
  • Para lambda = -1: apenas o vetor nulo (base trivial).
  • Para lambda = 3: um vetor não nulo específico.
  • Para lambda = 2: um vetor não nulo específico.

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