Dado o ponto A=(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3), pede-se: Verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto A=(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3). O objetivo é verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) estão na reta r determinada pelo ponto A e pelo vetor v. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a equação paramétrica da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Se temos um ponto A=(x0, y0, z0) e um vetor diretor v=(a, b, c), então qualquer ponto P=(x,y,z) na reta pode ser escrito como:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
onde t é um parâmetro real.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, com A=(2,3,-4) e v=(1,-2,3), temos:
x = 2 + 1 cdot t y = 3 - 2 cdot t z = -4 + 3 cdot t
Agora, vamos verificar se os pontos D e E satisfazem essas equações para algum valor de t.

Passo 4

Vamos começar com o ponto D=(4,-1,2). Substituindo as coordenadas de D nas equações da reta, temos:
4 = 2 + t -1 = 3 - 2t 2 = -4 + 3t
Resolvendo a primeira equação:
4 = 2 + t
t = 4 - 2
t = 2
Vamos verificar se esse valor de t satisfaz as outras duas equações:
Para a segunda equação:
-1 = 3 - 2(2)
-1 = 3 - 4
-1 = -1 ✔️
Para a terceira equação:
2 = -4 + 3(2)
2 = -4 + 6
2 = 2 ✔️
Como todas as equações são satisfeitas pelo mesmo valor de t=2, o ponto D pertence à reta r.

Passo 5

Agora, vamos verificar o ponto E=(5,-4,3). Substituindo nas equações da reta:
5 = 2 + t -4 = 3 - 2t 3 = -4 + 3t
Resolvendo a primeira equação:
5 = 2 + t
t = 5 - 2
t = 3
Vamos verificar as outras equações com t=3:
Para a segunda equação:
-4 = 3 - 2(3)
-4 = 3 - 6
-4 = -3
Já não bate, então não precisamos verificar a terceira. Isso significa que o ponto E não pertence à reta r.

Resposta

O ponto D=(4,-1,2) pertence à reta r, enquanto o ponto E=(5,-4,3) não pertence à reta r.

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