Dado o ponto e o vetor , pede-se: Verificar se os pontos e pertencem a ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto e o vetor . O objetivo é verificar se os pontos e estão na reta determinada pelo ponto e pelo vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a equação paramétrica da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como escrevemos a equação paramétrica de uma reta. Se temos um ponto e um vetor diretor , então qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
onde t é um parâmetro real.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, com A=(2,3,-4) e v=(1,-2,3), temos:
x = 2 + 1 cdot t y = 3 - 2 cdot t z = -4 + 3 cdot t
Agora, vamos verificar se os pontos D e E satisfazem essas equações para algum valor de t.
Passo 4
Vamos começar com o ponto D=(4,-1,2). Substituindo as coordenadas de D nas equações da reta, temos:
4 = 2 + t -1 = 3 - 2t 2 = -4 + 3t
Resolvendo a primeira equação:
4 = 2 + t t = 4 - 2 t = 2
Vamos verificar se esse valor de t satisfaz as outras duas equações:
Para a segunda equação:
-1 = 3 - 2(2) -1 = 3 - 4 -1 = -1 ✔️
Para a terceira equação:
2 = -4 + 3(2) 2 = -4 + 6 2 = 2 ✔️
Como todas as equações são satisfeitas pelo mesmo valor de t=2, o ponto D pertence à reta r.
Passo 5
Agora, vamos verificar o ponto E=(5,-4,3). Substituindo nas equações da reta:
5 = 2 + t -4 = 3 - 2t 3 = -4 + 3t
Resolvendo a primeira equação:
5 = 2 + t t = 5 - 2 t = 3
Vamos verificar as outras equações com t=3:
Para a segunda equação:
-4 = 3 - 2(3) -4 = 3 - 6 -4 = -3 ❌
Já não bate, então não precisamos verificar a terceira. Isso significa que o ponto E não pertence à reta r.
Resposta
O ponto D=(4,-1,2) pertence à reta r, enquanto o ponto E=(5,-4,3) não pertence à reta r.