Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes , determine: c) Mostre que o conjunto é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto de todas as matrizes , que a gente chama de . A questão pede para mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial. Isso significa que a gente vai verificar se satisfaz todas as regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (chamado escalar), e essas operações obedecem a certas regras.
No nosso caso, os “vetores” são as matrizes , e os “escalars” são números reais.

Passo 3

Agora, vamos listar os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
  1. Fechamento da soma: Se você somar duas matrizes em , o resultado também está em .
  2. Fechamento da multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz em por um número real, o resultado também está em .
  3. Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa, ou seja, .
  4. Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, ou seja, .
  5. Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em que, somada a qualquer matriz, não altera ela.
  6. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em , existe outra matriz que, somada a ela, resulta na matriz zero.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: .
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para :
  1. Fechamento da soma: Se e são matrizes , então também será uma matriz . Por exemplo:
  1. Fechamento da multiplicação por escalar: Se é um número real e é uma matriz , então também é uma matriz . Por exemplo:
  1. Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa. Ou seja, .
  2. Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, então .
  3. Existência do elemento neutro: A matriz zero,
tem a propriedade de que para qualquer matriz .
  1. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz , existe uma matriz tal que . Por exemplo,
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
  1. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:

Passo 5

Como vimos, todas essas propriedades são satisfeitas pelo conjunto . Isso significa que a soma de duas matrizes é uma matriz , a multiplicação por um escalar mantém a matriz no conjunto, e todas as regras de associação, comutação, existência de zero e inversos são válidas.

Resposta

Portanto, o conjunto satisfaz todos os axiomas necessários e, assim, é um espaço vetorial.

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