Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes M2 times 2, determine: c) Mostre que o conjunto M2 times 2 é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto de todas as matrizes 2 times 2, que a gente chama de M2 times 2. A questão pede para mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial. Isso significa que a gente vai verificar se M2 times 2 satisfaz todas as regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (chamado escalar), e essas operações obedecem a certas regras.
No nosso caso, os “vetores” são as matrizes 2 times 2, e os “escalars” são números reais.

Passo 3

Agora, vamos listar os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
  1. Fechamento da soma: Se você somar duas matrizes em M2 times 2, o resultado também está em M2 times 2.
  2. Fechamento da multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz em M2 times 2 por um número real, o resultado também está em M2 times 2.
  3. Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa, ou seja, (A + B) + C = A + (B + C).
  4. Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, ou seja, A + B = B + A.
  5. Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em M2 times 2 que, somada a qualquer matriz, não altera ela.
  6. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em M2 times 2, existe outra matriz que, somada a ela, resulta na matriz zero.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: a(A + B) = aA + aB.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: (a + b)A = aA + bA.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: a(bA) = (ab)A.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para M2 times 2:
  1. Fechamento da soma: Se A e B são matrizes 2 times 2, então A + B também será uma matriz 2 times 2. Por exemplo:
A = a & b c & d , B = e & f g & h
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
  1. Fechamento da multiplicação por escalar: Se k é um número real e A é uma matriz 2 times 2, então kA também é uma matriz 2 times 2. Por exemplo:
kA = k a & b c & d = ka & kb kc & kd
  1. Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa. Ou seja, (A + B) + C = A + (B + C).
  2. Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, então A + B = B + A.
  3. Existência do elemento neutro: A matriz zero,
0 = 0 & 0 0 & 0 ,
tem a propriedade de que A + 0 = A para qualquer matriz A.
  1. Existência do inverso aditivo: Para cada matriz A, existe uma matriz -A tal que A + (-A) = 0. Por exemplo,
-A = -a & -b -c & -d
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k(A + B) = kA + kB
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + m)A = kA + mA
  1. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
k(mA) = (km)A
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1A = A

Passo 5

Como vimos, todas essas propriedades são satisfeitas pelo conjunto M2 times 2. Isso significa que a soma de duas matrizes 2 times 2 é uma matriz 2 times 2, a multiplicação por um escalar mantém a matriz no conjunto, e todas as regras de associação, comutação, existência de zero e inversos são válidas.

Resposta

Portanto, o conjunto M2 times 2 satisfaz todos os axiomas necessários e, assim, é um espaço vetorial.

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