Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes , determine: c) Mostre que o conjunto é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto de todas as matrizes , que a gente chama de . A questão pede para mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial. Isso significa que a gente vai verificar se satisfaz todas as regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (chamado escalar), e essas operações obedecem a certas regras.
No nosso caso, os “vetores” são as matrizes , e os “escalars” são números reais.
Passo 3
Agora, vamos listar os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
Fechamento da soma: Se você somar duas matrizes em , o resultado também está em .
Fechamento da multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz em por um número real, o resultado também está em .
Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa, ou seja, .
Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, ou seja, .
Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em que, somada a qualquer matriz, não altera ela.
Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em , existe outra matriz que, somada a ela, resulta na matriz zero.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares: .
Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Passo 4
Vamos verificar cada um desses axiomas para :
Fechamento da soma: Se e são matrizes , então também será uma matriz . Por exemplo:
Fechamento da multiplicação por escalar: Se é um número real e é uma matriz , então também é uma matriz . Por exemplo:
Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa. Ou seja, .
Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, então .
Existência do elemento neutro: A matriz zero,
tem a propriedade de que para qualquer matriz .
Existência do inverso aditivo: Para cada matriz , existe uma matriz tal que . Por exemplo,
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Passo 5
Como vimos, todas essas propriedades são satisfeitas pelo conjunto . Isso significa que a soma de duas matrizes é uma matriz , a multiplicação por um escalar mantém a matriz no conjunto, e todas as regras de associação, comutação, existência de zero e inversos são válidas.
Resposta
Portanto, o conjunto satisfaz todos os axiomas necessários e, assim, é um espaço vetorial.