Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes
, determine: c) Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto de todas as matrizes
, que a gente chama de
. A questão pede para mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial. Isso significa que a gente vai verificar se
satisfaz todas as regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são os axiomas que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (chamado escalar), e essas operações obedecem a certas regras.
No nosso caso, os “vetores” são as matrizes
, e os “escalars” são números reais.
Passo 3
Agora, vamos listar os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
- Fechamento da soma: Se você somar duas matrizes em
, o resultado também está em . - Fechamento da multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz em
por um número real, o resultado também está em . - Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa, ou seja,
. - Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, ou seja,
. - Existência do elemento neutro: Existe uma matriz zero em
que, somada a qualquer matriz, não altera ela. - Existência do inverso aditivo: Para cada matriz em
, existe outra matriz que, somada a ela, resulta na matriz zero. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Passo 4
Vamos verificar cada um desses axiomas para
:
- Fechamento da soma: Se
e são matrizes , então também será uma matriz . Por exemplo:
- Fechamento da multiplicação por escalar: Se
é um número real e é uma matriz , então também é uma matriz . Por exemplo:
-
Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa. Ou seja,
. -
Comutatividade da soma: A soma de matrizes é comutativa, então
. -
Existência do elemento neutro: A matriz zero,
tem a propriedade de que
para qualquer matriz
.
- Existência do inverso aditivo: Para cada matriz
, existe uma matriz tal que . Por exemplo,
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Passo 5
Como vimos, todas essas propriedades são satisfeitas pelo conjunto
. Isso significa que a soma de duas matrizes
é uma matriz
, a multiplicação por um escalar mantém a matriz no conjunto, e todas as regras de associação, comutação, existência de zero e inversos são válidas.
Resposta
Portanto, o conjunto
satisfaz todos os axiomas necessários e, assim, é um espaço vetorial.