Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Passo 1
O exercício pede para responder se a afirmação “Toda matriz diagonal é simétrica” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com matrizes, especificamente com matrizes diagonais e simétricas. Para resolver, vamos lembrar das definições e propriedades dessas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, apenas os elementos da forma podem ser diferentes de zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Assim, para uma matriz , ela é simétrica se .
Passo 4
Vamos aplicar isso à matriz diagonal. Como todos os elementos fora da diagonal são zero, ao transpor a matriz, esses zeros continuam nos mesmos lugares. Os elementos da diagonal permanecem inalterados. Portanto, a matriz transposta será igual à matriz original.
Passo 5
Como para uma matriz diagonal, isso significa que toda matriz diagonal é simétrica de acordo com a definição de matriz simétrica.
Resposta
Verdadeiro. Toda matriz diagonal é simétrica porque, ao transpor, ela permanece igual a si mesma.