Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (g) Se é uma matriz triangular inferior, então é uma matriz triangular superior.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz triangular inferior, então é uma matriz triangular superior."
Estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com matrizes triangulares e suas transpostas. Para resolver isso, precisamos entender o que caracteriza uma matriz triangular inferior e como a operação de transposição afeta sua estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz triangular inferior. Uma matriz é triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Em outras palavras, para todo , .
Passo 3
A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas. Isso significa que o elemento de passa a ser em .
Passo 4
Vamos aplicar a transposição a uma matriz triangular inferior . Como em os elementos acima da diagonal são zero ( para ), na transposta , esses zeros vão para abaixo da diagonal ( para ), ou seja, os elementos abaixo da diagonal de serão zero.
Passo 5
Uma matriz triangular superior é aquela em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Observando a estrutura de , percebemos que exatamente essa condição é satisfeita: os elementos abaixo da diagonal são zero. Portanto, é uma matriz triangular superior.
Resposta
Verdadeiro. Se é uma matriz triangular inferior, então sua transposta é uma matriz triangular superior, pois a transposição troca os elementos acima e abaixo da diagonal principal.