Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor
(d) [llll2 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que o enunciado pede é para encontrar as bases dos auto-espaços relacionados a cada autovalor da matriz dada. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar os autovalores da matriz.
  2. Para cada autovalor, determinar o espaço próprio (ou auto-espaço) associado.
  3. Encontrar uma base para cada um desses auto-espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Ou seja, os autovalores são:
lambda1 = 2, lambda2 = 2, lambda3 = 1, lambda4 = 1
Então, os autovalores são 2 (com multiplicidade 2) e 1 (com multiplicidade 2).

Passo 3

Agora, vamos para cada autovalor, encontrar o auto-espaço correspondente. O auto-espaço de um autovalor (A - lambda I)v = 0 é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 4

Para A - 2I = 2-2 & 2 & 3 & 4 0 & 2-2 & 3 & 2 0 & 0 & 1-2 & 1 0 & 0 & 0 & 1-2 = 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 :
Vamos calcular 0x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 0x1 + 0x2 + 3x3 + 2x4 = 0 0x1 + 0x2 - x3 + x4 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 - x4 = 0 :
x1 0 0 0 , | , x1 in R
Agora, queremos resolver 1 0 0 0 :
Vamos resolver esse sistema:
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na segunda equação: (não dá mais informação)
Substituindo na primeira equação:
Assim, as únicas variáveis livres são . Portanto, o auto-espaço para é:
Uma base para esse auto-espaço é simplesmente:

Passo 5

Para A - 1I = 2-1 & 2 & 3 & 4 0 & 2-1 & 3 & 2 0 & 0 & 1-1 & 1 0 & 0 & 0 & 1-1 = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 :
Vamos calcular x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 0x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 :
x1 + 2(-3x3) + 3x3 = 0 Rightarrow x1 -6x3 +3x3 = 0 Rightarrow x1 -3x3 = 0 Rightarrow x1 = 3x3
Agora, queremos resolver 3x3 -3x3 x3 0 , | , x3 in R :
x3 3 -3 1 0
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: 3 -3 1 0
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então, as variáveis livres são . Portanto, o auto-espaço para é:
Podemos fatorar :
Então, uma base para esse auto-espaço é:

Resposta

As bases dos auto-espaços são:
  • Para 1 0 0 0 :
    3 -3 1 0
  • Para :

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