Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que o enunciado pede é para encontrar as bases dos auto-espaços relacionados a cada autovalor da matriz dada. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar:
Encontrar os autovalores da matriz.
Para cada autovalor, determinar o espaço próprio (ou auto-espaço) associado.
Encontrar uma base para cada um desses auto-espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Como a matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Ou seja, os autovalores são:
Então, os autovalores são 2 (com multiplicidade 2) e 1 (com multiplicidade 2).
Passo 3
Agora, vamos para cada autovalor, encontrar o auto-espaço correspondente. O auto-espaço de um autovalor é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 4
Para :
Vamos calcular :
Agora, queremos resolver :
Vamos resolver esse sistema:
Da última equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na segunda equação: (não dá mais informação)
Substituindo na primeira equação:
Assim, as únicas variáveis livres são . Portanto, o auto-espaço para é:
Uma base para esse auto-espaço é simplesmente:
Passo 5
Para :
Vamos calcular :
Agora, queremos resolver :
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na primeira equação:
Então, as variáveis livres são . Portanto, o auto-espaço para é: