Discuta e resolva o sistema:
rrx+y+z= & 0 x-y+m z= & 2 m x+2 y+z= & -1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no sistema de equações que a gente precisa resolver:
x + y + z = 0 x - y + m z = 2 m x + 2 y + z = -1
Esse exercício faz parte da matéria de sistemas lineares. Para resolver, vamos usar métodos de eliminação e substituição, além de manipular as equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações:
  1.   (Eq. 1)
  2.  (Eq. 2)
  3.  (Eq. 3)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos tentar eliminar o (x - y + m z) - (x + y + z) = 2 - 0 entre a Eq. 1 e a Eq. 2.
Subtraia a Eq. 1 da Eq. 2:
-2y + (m - 1)z = 2 (Eq 4)
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos eliminar m x + m y + m z = 0 (Eq 1 (times) m) entre a Eq. 1 e a Eq. 3. Primeiro, multiplique a Eq. 1 por (m x + m y + m z) - (m x + 2 y + z) = 0 - (-1) :
(m y - 2 y) + (m z - z) = 1
Subtraia a Eq. 3 dessa nova equação:
(m - 2)y + (m - 1)z = 1 (Eq 5)
Simplificando:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações (Eq. 4 e Eq. 5):
-2y + (m - 1)z = 2 (Eq 4) (m - 2)y + (m - 1)z = 1 (Eq 5)
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Para eliminar uma variável, vamos multiplicar a Eq. 4 por -2(m - 2)y + (m - 1)(m - 2)z = 2(m - 2) 2(m - 2)y + 2(m - 1)z = 2 e a Eq. 5 por 2:

Passo 7

Somando as duas novas equações para eliminar [-2(m - 2)y + 2(m - 2)y] + [(m - 1)(m - 2)z + 2(m - 1)z] = 2(m - 2) + 2 :
(m - 1)[(m - 2) + 2]z = 2(m - 2) + 2
Simplificando:
m(m - 1)z = 2m - 2

Passo 8

Isolando z = 2m - 2m(m - 1) = 2(m - 1)m(m - 1) = 2m :

Passo 9

Com -2y + (m - 1)(2m) = 2 , vamos substituir na Eq. 4 para encontrar -2y + 2(m - 1)m = 2 :
-2y = 2 - 2(m - 1)m
Simplificando:
-2y = 2m - 2(m - 1)m = 2m - 2m + 2m = 2m
y = -1m

Passo 10

Agora, substituímos x + (-1m) + 2m = 0 e x + 1m = 0 implies x = -1m na Eq. 1 para encontrar :
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1m, y = -1m, z = 2m

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