Obtenha um vetor normal ao plano pi nos seguintes casos: b) pi tem equações paramétricas : x & =1+gamma y & =2-gamma+mu z & =gamma-2 mu

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um vetor normal ao plano pi, que está definido pelas equações paramétricas:
x = 1 + gamma y = 2 - gamma + mu z = gamma - 2mu
Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica e precisamos entender como usar as equações paramétricas de um plano para encontrar um vetor normal a ele. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores do plano e depois calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores do plano pi. Nas equações paramétricas, os parâmetros gamma e mu nos dão informações sobre as direções no plano. Cada parâmetro está associado a um vetor diretor.
  • Para o parâmetro gamma:
    x = 1 + gamma Rightarrow coeficiente de gamma em x é 1 é
    y = 2 - gamma + mu Rightarrow coeficiente de gamma em y é -1 é
    z = gamma - 2mu Rightarrow coeficiente de gamma em z é 1 é
    Assim, o vetor diretor associado a gamma é u = 1 -1 1 .
  • Para o parâmetro mu:
    x = 1 + gamma Rightarrow coeficiente de mu em x é 0 é
    y = 2 - gamma + mu Rightarrow coeficiente de mu em y é 1 é
    z = gamma - 2mu Rightarrow coeficiente de mu em z é -2 é
    Portanto, o vetor diretor associado a mu é v = 0 1 -2 .

Passo 3

Agora que temos os dois vetores diretores u e v, podemos encontrar um vetor normal ao plano pi calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais, ou seja, normal ao plano formado por eles.
Vamos calcular o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k 1 & -1 & 1 0 & 1 & -2
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(-2) - (1)(1)) - j((1)(-2) - (1)(0)) + k((1)(1) - (-1)(0))
u times v = i(2 - 1) - j(-2 - 0) + k(1 - 0)
u times v = i(1) + j(2) + k(1)
Então, o vetor normal é n = 1 2 1 .

Resposta

Um vetor normal ao plano pi é n = 1 2 1 .

Exercícios relacionados