Ache cada limite, se existe:

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro envolve uma função com valor absoluto e o segundo tem uma raiz quadrada e um termo quadrático. A matéria que vamos usar é cálculo de limites, especialmente limites laterais. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima dos valores dados por valores menores que (porque é ).

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: .
Aqui, e .

Passo 3

Lembre-se que o valor absoluto depende do sinal de . Como estamos aproximando de por valores menores que , ou seja, está um pouco menor que .

Passo 4

Se , então . Portanto, .

Passo 5

Substituindo na função:
Isso vale para todo menor que .

Passo 6

Então, quando se aproxima de pela esquerda, a expressão se aproxima de .

Passo 7

Agora, o segundo limite: .
Aqui, e .

Passo 8

Primeiro, vamos verificar o comportamento de cada parte da função quando se aproxima de pela esquerda.

Passo 9

Para , quando se aproxima de :
Então, se aproxima de .

Passo 10

Para , quando se aproxima de :
Então, se aproxima de .

Passo 11

Juntando as partes:

Resposta

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A função sinal, denotada por sgn, é definida por
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Ache cada limite, se existe: