Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
lim x 3(2 x+|x-3|)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver, vamos usar algumas propriedades básicas dos limites, como a soma de limites e o limite de funções lineares e de valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, observe que a função dada é a soma de duas expressões: limx a [f(x) + g(x)] = limx a f(x) + limx a g(x) e limx 3 (2x + |x - 3|) = limx 3 2x + limx 3 |x - 3| . Uma propriedade importante dos limites é que o limite da soma de funções é igual à soma dos limites das funções individuais, ou seja:
Então, podemos separar o limite original em duas partes:

Passo 3

Agora vamos calcular cada um desses limites separadamente. Começando pelo primeiro:
limx 3 2x
Essa é uma função linear, e sabemos que o limite de uma função linear é simplesmente o valor da função quando limx 3 2x = 2 times 3 = 6 é igual ao ponto de interesse. Portanto:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o segundo limite:
limx 3 |x - 3|
A função valor absoluto limx 3 |x - 3| = |3 - 3| = 0 mede a distância de até na reta numérica. Quando se aproxima de , essa distância tende a . Portanto:

Resposta

Somando os dois limites calculados:
limx 3 (2x + |x - 3|) = 6 + 0 = 6
Portanto, o limite é igual a 6.

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