A função sinal, denotada por sgn, é definida por
sgn x= -1, & se x<0 0, & se x=0 1, & se x>0
Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir.
lim x 0^+ sgn x, lim x 0^- sgn x, lim x 0 sgn x, lim x 0|sgn x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre a função sinal, que a gente escreve como sgn x. Essa função basicamente diz se um número é positivo, negativo ou zero. A gente vai usar conceitos de limites para ver o que acontece com essa função quando x se aproxima de 0 por diferentes lados. Vamos precisar entender o que é um limite lateral (quando x se aproxima de um ponto vindo da direita ou da esquerda) e o limite geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite de sgn x quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x 0^+. Quando x está se aproximando de 0 pela direita, isso significa que x está sendo positivo, mas bem próximo de zero. Segundo a definição da função sinal:
sgn x = 1 se x > 0
Então, se x está chegando perto de 0 por valores positivos, sgn x será sempre 1. Portanto:
lim x 0^+ sgn x = 1

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, x 0^-. Dessa vez, x está sendo negativo, mas bem próximo de zero. De acordo com a definição:
sgn x = -1 se x < 0
Então, para valores de x próximos de 0 pela esquerda, sgn x sempre será -1. Assim:
lim x 0^- sgn x = -1

Passo 4

Agora, vamos tentar encontrar o limite geral de sgn x quando x se aproxima de 0, ou seja, lim x 0 sgn x. Para que esse limite exista, os limites laterais (pela direita e pela esquerda) precisam ser iguais. Mas, como vimos:
lim x 0^+ sgn x = 1 e lim x 0^- sgn x = -1
Como 1 não é igual a -1, o limite geral não existe. Então:
lim x 0 sgn x não existe ã

Passo 5

Por último, vamos calcular o limite de |sgn x| quando x se aproxima de 0, ou seja, lim x 0 |sgn x|. A função valor absoluto vai transformar qualquer valor em positivo. Observando a função sinal:
|sgn x| = 1, & se x neq 0 0, & se x = 0
Quando x se aproxima de 0 (por qualquer lado), mas não é exatamente 0, |sgn x| é sempre 1. Então, independente de x vir pela direita ou pela esquerda:
lim x 0 |sgn x| = 1

Resposta

  1. lim x 0^+ sgn x = 1
  2. lim x 0^- sgn x = -1
  3. lim x 0 sgn x não existe
  4. lim x 0 |sgn x| = 1

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