Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre a função sinal, que a gente escreve como . Essa função basicamente diz se um número é positivo, negativo ou zero. A gente vai usar conceitos de limites para ver o que acontece com essa função quando se aproxima de 0 por diferentes lados. Vamos precisar entender o que é um limite lateral (quando se aproxima de um ponto vindo da direita ou da esquerda) e o limite geral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite de quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Quando está se aproximando de 0 pela direita, isso significa que está sendo positivo, mas bem próximo de zero. Segundo a definição da função sinal:
Então, se está chegando perto de 0 por valores positivos, será sempre 1. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, . Dessa vez, está sendo negativo, mas bem próximo de zero. De acordo com a definição:
Então, para valores de próximos de 0 pela esquerda, sempre será -1. Assim:
Passo 4
Agora, vamos tentar encontrar o limite geral de quando se aproxima de 0, ou seja, . Para que esse limite exista, os limites laterais (pela direita e pela esquerda) precisam ser iguais. Mas, como vimos:
Como 1 não é igual a -1, o limite geral não existe. Então:
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Passo 5
Por último, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0, ou seja, . A função valor absoluto vai transformar qualquer valor em positivo. Observando a função sinal:
Quando se aproxima de 0 (por qualquer lado), mas não é exatamente 0, é sempre 1. Então, independente de vir pela direita ou pela esquerda: