Ache cada limite, se existir.
& 15 lim h 0 (a+h)^4-a^4h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa achar o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar o limite de expressões assim.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (a + h)^4 = a^4 + 4a^3h + 6a^2h^2 + 4a h^3 + h^4 . Isso significa multiplicar por ele mesmo quatro vezes:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão do limite:
(a + h)^4 - a^4h = a^4 + 4a^3h + 6a^2h^2 + 4a h^3 + h^4 - a^4h
Simplificando, os 4a^3h + 6a^2h^2 + 4a h^3 + h^4h se cancelam:

Passo 4

Vamos dividir cada termo do numerador por 4a^3 + 6a^2h + 4a h^2 + h^3 :
limh to 0 (4a^3 + 6a^2h + 4a h^2 + h^3) = 4a^3
Agora, podemos calcular o limite quando tende a 0. Os termos que contêm vão desaparecer, pois quando :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos o resultado do limite por 15:
15 times 4a^3 = 60a^3

Resposta

O valor do limite é .

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