Ache cada limite, se existir.
& 6 lim x 2 3 x^2-x-10x^2-x-2

Passo 1

Então, temos que calcular o limite . Isso envolve o estudo de limites, uma parte da matemática que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão fracionária e verificar se conseguimos substituir diretamente o valor de sem problemas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3(2)^2 - 2 - 10(2)^2 - 2 - 2 = 3 times 4 - 2 - 104 - 2 - 2 = 12 - 2 - 100 = 00 diretamente na expressão para ver se o limite pode ser calculado de forma simples:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Primeiro, o numerador 3x^2 - x - 10 = 3x^2 + 5x - 6x - 10 = x(3x + 5) - 2(3x + 5) = (x - 2)(3x + 5) :
Procuramos dois números que multiplicados dão x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever:
Agora, o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever:

Passo 4

Substituímos as fatorações de volta na expressão original:
6 limx 2 (x - 2)(3x + 5)(x - 2)(x + 1)
Observamos que o termo 6 limx 2 3x + 5x + 1 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que ):

Passo 5

Agora, podemos substituir 6 times 3(2) + 52 + 1 = 6 times 6 + 53 = 6 times 113 = 6 times 113 = 2 times 11 = 22 diretamente na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale 22.

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