(2)Ache cada limite.
ll -lim x infty[ln (3+x)-ln (2+x)] & -lim x infty(raiz9 x^2+2 x-3 x) -lim x infty(raizx^2+a x-raizx^2+b x) & -lim x 0 x^3 sen 1x

Passo 1

Beleza, então a gente tem quatro limites pra calcular aqui. A matéria que vamos usar é o cálculo de limites, especialmente quando a variável tende ao infinito ou a zero. Vamos precisar entender como lidar com logaritmos, raízes quadradas e funções oscilatórias como o seno. Bora lá resolver cada um passo a passo!

Passo 2

Primeiro Limite:
limx infty [ln(3+x) - ln(2+x)]
Aqui, temos a diferença de dois logaritmos. Sabemos que , então vamos simplificar a expressão usando essa propriedade.

Passo 3

Aplicando a regra dos logaritmos:
ln(3+x) - ln(2+x) = ln(3+x2+x)
Agora, vamos analisar o que acontece quando ln(3+x2+x) = ln(x(1 + 3x)x(1 + 2x)) = ln(1 + 3x1 + 2x) tende ao infinito. Dividimos numerador e denominador por ln(1 + 01 + 0) = ln(1) = 0 :
Quando tende ao infinito, e vão a zero:

Passo 4

Segundo Limite:
limx infty (raiz9x^2+2x - 3x)
Aqui, temos uma diferença envolvendo uma raiz quadrada. A estratégia é fatorar dentro da raiz para simplificar.

Passo 5

Fatorando raiz9x^2+2x = xraiz9 + 2x dentro da raiz:
xraiz9 + 2x - 3x = x(raiz9 + 2x - 3)
Então, a expressão fica:
raiz9 + 2x approx raiz9 = 3
Agora, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando x(3 - 3) = x cdot 0 = 0 tende ao infinito:
raiz9 + 2x = 3 + 13cdot2x + dots = 3 + 23x
Então, a expressão aproxima-se de:
x(3 + 23x - 3) = x(23x) = 23
Mas para uma precisão maior, usamos a expansão:
Substituindo:

Passo 6

Terceiro Limite:
limx infty (raizx^2+a x - raizx^2+b x)
Novamente, temos diferenças de raízes quadradas. Vamos fatorar para simplificar.

Passo 7

Fatorando raizx^2+a x = xraiz1 + ax, raizx^2+b x = xraiz1 + bx dentro das raízes:
xraiz1 + ax - xraiz1 + bx = x(raiz1 + ax - raiz1 + bx)
Então, a expressão fica:
raiz1 + ax approx 1 + a2x, raiz1 + bx approx 1 + b2x
Expandindo as raízes para x((1 + a2x) - (1 + b2x)) = x(a - b2x) = a - b2 grande:
Substituindo na expressão:

Passo 8

Quarto Limite:
limx 0 x^3 sin ( 1x )
Aqui, temos uma função oscilatória ( ) multiplicada por . Sabemos que está sempre entre -1 e 1.

Passo 9

Como -x^3 <= x^3 sin(1x) <= x^3 , multiplicando por limx 0 x^3 sin(1x) = 0 :
Quando , , então pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich):

Resposta

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