(2)Ache cada limite.
Passo 1
Beleza, então a gente tem quatro limites pra calcular aqui. A matéria que vamos usar é o cálculo de limites, especialmente quando a variável tende ao infinito ou a zero. Vamos precisar entender como lidar com logaritmos, raízes quadradas e funções oscilatórias como o seno. Bora lá resolver cada um passo a passo!
Passo 2
Primeiro Limite:
Aqui, temos a diferença de dois logaritmos. Sabemos que
, então vamos simplificar a expressão usando essa propriedade.
Passo 3
Aplicando a regra dos logaritmos:
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. Dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
e
vão a zero:
Passo 4
Segundo Limite:
Aqui, temos uma diferença envolvendo uma raiz quadrada. A estratégia é fatorar
dentro da raiz para simplificar.
Passo 5
Fatorando
dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Agora, vamos analisar o que acontece dentro da raiz quando
tende ao infinito:
Então, a expressão aproxima-se de:
Mas para uma precisão maior, usamos a expansão:
Substituindo:
Passo 6
Terceiro Limite:
Novamente, temos diferenças de raízes quadradas. Vamos fatorar
para simplificar.
Passo 7
Fatorando
dentro das raízes:
Então, a expressão fica:
Expandindo as raízes para
grande:
Substituindo na expressão:
Passo 8
Quarto Limite:
Aqui, temos uma função oscilatória (
) multiplicada por
. Sabemos que
está sempre entre -1 e 1.
Passo 9
Como
, multiplicando por
:
Quando
,
, então pelo Teorema do Aperto (ou Teorema da Sandwich):