(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
-(b) Se
é contínua em
, então
também o é.
-(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação "Se
é contínua em
, então
também é contínua em
" é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua e como a continuidade do valor absoluto de uma função pode influenciar a continuidade da própria função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto
. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Ou seja:
Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no
, que é o valor absoluto de
. O valor absoluto sempre dá um número não negativo. Se
é contínua em
, isso quer dizer que:
Mas será que isso garante que
também seja contínua em
? Ou seja:
Passo 4
Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos tentar encontrar um exemplo onde
é contínua em
, mas
não é. Se conseguirmos encontrar esse exemplo, a afirmação será falsa.
Passo 5
Considere a função
definida da seguinte forma:
Vamos analisar a continuidade dessa função no ponto
.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar
:
Então,
para todo
, o que é uma função constante e, portanto, contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos ver se
é contínua em
:
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Além disso,
, que não coincide com
. Portanto,
não é contínua em
.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, a função
tem
contínua em
, mas
não é contínua nesse ponto.