(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
-(b) Se |f| é contínua em a, então f também o é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação "Se é contínua em , então também é contínua em " é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua e como a continuidade do valor absoluto de uma função pode influenciar a continuidade da própria função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto . Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual a . Ou seja:
Isso significa que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos pensar no , que é o valor absoluto de . O valor absoluto sempre dá um número não negativo. Se é contínua em , isso quer dizer que:
Mas será que isso garante que também seja contínua em ? Ou seja:

Passo 4

Para verificar se a afirmação é verdadeira, vamos tentar encontrar um exemplo onde é contínua em , mas não é. Se conseguirmos encontrar esse exemplo, a afirmação será falsa.

Passo 5

Considere a função definida da seguinte forma:
Vamos analisar a continuidade dessa função no ponto .

Passo 6

Primeiro, vamos verificar :
Então, para todo , o que é uma função constante e, portanto, contínua em .

Passo 7

Agora, vamos ver se é contínua em :
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Além disso, , que não coincide com . Portanto, não é contínua em .

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a função tem contínua em , mas não é contínua nesse ponto.

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