(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
  • (a) Se lim x 0 f(x)=infty e lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0[f(x)-g(x)]=0.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: se e , então . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como os limites de duas funções que tendem ao infinito se comportam quando subtraídos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que significa que, conforme se aproxima de 0, cresce sem limite, ou seja, fica cada vez maior. O mesmo vale para .

Passo 3

A afirmação sugere que, se ambas as funções crescem para o infinito, a diferença entre elas vai tender a zero. Para verificar isso, precisamos pensar em como essas duas funções crescem em relação uma à outra.

Passo 4

Vamos considerar um exemplo para testar a afirmação. Seja f(x) - g(x) = 1x - 2x = -1x e . Quando se aproxima de 0, tanto quanto tendem a . A diferença entre elas é:

Passo 5

Observamos que tende a quando , não a 0. Isso mostra que, mesmo que ambas as funções e tendam a , a diferença entre elas pode não tender a 0.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se e , então .

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