(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
-(d) lim x a[f(x) g(x)] pode existir mesmo que nem lim x a f(x) nem lim x a g(x) existam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que o limite de quando se aproxima de pode existir mesmo que nenhum dos limites de e exista individualmente. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções para descobrir se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o limite de um produto de funções, , geralmente depende dos limites de e separadamente. Se ambos os limites individuais existirem, é possível multiplicá-los para encontrar o limite do produto.

Passo 3

Mas a questão pergunta se o limite do produto pode existir mesmo que nenhum dos limites individuais exista. Ou seja, mesmo que e não existam, será que ainda pode ter um valor definido?

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo concreto. Imagine que:
Quando se aproxima de 0:
  • não tem limite porque oscila entre -1 e 1 sem parar.
  • tem limite 0.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece com o produto f(x)g(x) = sin(1x) cdot x :
limx to 0 sin(1x) cdot x = 0
Como está sempre entre -1 e 1, multiplicando por (que está se aproximando de 0), o produto também se aproxima de 0:

Passo 6

Nesse caso, mesmo que não exista, o limite do produto existe e é igual a 0.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O limite de pode existir mesmo que nem nem existam individualmente.

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